呵呵！偶遇到一難題，老師沒(méi)解題說(shuō)：“不會(huì)也不要緊。”雖然給了答案可偶卻看不懂。昨天聽(tīng)說(shuō)IAsk上有高人，特來(lái)請(qǐng)教。廢話少說(shuō)，各位高人接招?。。ㄔ趺聪裨诒任浒?，汗）說(shuō)：對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，以S(n)表示滿足如下條件的最大正整數(shù)對(duì)于每個(gè)正整數(shù)k≤S(n),n^2都可以表示成k個(gè)正整數(shù)的平方和。1問(wèn)我懂了，下面是2，3問(wèn)2：試找出一個(gè)正整數(shù)n,使得S(n)=n^2-143: 證明存在無(wú)限多個(gè)正整數(shù)n,使得S(n)=n^2-14
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引理1。對(duì)任意14≤n，3k1+8k2=n 有自然數(shù)解，且k1+k2≤n/3。證：n≡0（mod 3），k1=n/3。n≡1（mod 3），k1=（n-2*8）/3。n≡2（mod 3），k1=（n-8）/3。3k1+3k2≤3k1+8k2=n。引理2。對(duì)任意26≤n，(2n+14)/3≤k, n^2=（m1）^2+……+（mk）^2 有正整數(shù)解。證：取1≤s≤n-1，s^2+13≤n^2- k <（s+1）^2+1314≤n^2- k- （s^2-1）≤2s+13≤2n+11由引理1。n^2- k- （s^2-1）=3t1+8t2有自然數(shù)解，且t1+t2≤[ n^2- k- （s^2-1）]/3≤（2n+11）/3≤k-1所以t1+t2+1≤k。n^2=k+ n^2- k=1+。。。+1+ n^2- k=1+。。。+1+[n^2- k- （s^2-1）]+（s^2-1）==1+。。。+1+3t1+8t2+（s^2-1）==[ k-（t1+t2+1）]+4t1+9t2+s^2==（1+。。+1）+（2^2+。。2^2）+（3^2+。。3^2）+ s^2（1+。。+1）有k-（t1+t2+1）個(gè)，（2^2+。。2^2）有t1個(gè)，（3^2+。。3^2）有t2個(gè)，共k個(gè)。1．n=26，有引理2。22≤k,26^2=（m1）^2+……+（mk）^2 有正整數(shù)解。修改一下引理1，得對(duì)任意14≤n≤51，3k1+8k2+15k3+24k4+35k5+48k6=n 有自然數(shù)解，且k1+k2+ k3+k4+k5+k6≤9。使用引理2的方法，10≤k<22, 26^2=（m1）^2+……+（mk）^2 有正整數(shù)解。26=1+5^2=1+3^2+4^2=2^2+2^2+3^2+3^2=1+2^2+2^2+2^2+2^2+3^2=1+1+1+1+2^2+3^2+3^2=1+1+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2+2^2,即k =2，3，4，6，7，8，26=（m1）^2+……+（mk）^2 有正整數(shù)解。26^2=[（m1）^2+……+（mk）^2] ^2==[（m1）^2+……+（m（k-1））^2-（mk）^2] ^2++（2m1* mk）^2+……+（2m（k-1）*mk）^2，有26^2=5^2+5^2+5^2+5^2+24^2所以1≤k≤26^2-14,26^2=（m1）^2+……+（mk）^2 有正整數(shù)解。2．設(shè)N1=26，Ns=[ N（s-1）] ^2，[ N（s-1）] ^2=[（m1）^2+……+（mk）^2] ^2=[（m1）^2+……+（m（k-1））^2-（mk）^2] ^2++（2m1* mk）^2+……+（2m（k-1）*mk）^2，所以N（s-1）=（m1）^2+……+（mk）^2 有正整數(shù)解，則Ns=（m1）^2+……+（mk）^2 有正整數(shù)解。再由引理2得Ns滿足條件，所以無(wú)限多個(gè)正整數(shù)滿足條件。。