已知數列a(n),b(n)中,a1=a,a1+b1=1,對任意n屬于N,且n>=2.a(n)=[a(n-1)*b(n-1)]/[1-a(n-1)^2],b(n)={[a(n-1)*b(n-1)]+b(n-1)^2}/[1-a(n-1)^2].求(1)a(n),b(n)通項公式(2)設S(n)=a1^2*b2+a2^2*b3+...+a(n)^2*b(n+1)注:( )內均為下標 a1中的"1"為下標,以此類推

熱心網友

1）b(n)/ a(n)=1+ b(n-1)/ a(n-1)=2+ b(n-2)/ a(n-2)=…=n-1+ b(1)/ a(1)=n-2+1/a。b(n)= a(n)[ n-2+1/a]2)a(n)= [a(n-1)*b(n-1)]/[1-a(n-1)^2]=（n-3+1/a）[a(n-1) ^2]/[1-a(n-1)^2]設a(k)=a/[（k-1）a+1]，==》a(k+1)= （k-2+1/a）[a(k) ^2]/[1-a(k)^2]= a/[ka+1]所以由歸納法得a(n)= a/[（n-1）a+1]。則b(n)= a(n)[ n-2+1/a]=[(n-2) a+1]/[（n-1）a+1]=1- a/[（n-1）a+1]=1- a(n)。3）S(n)=a1^2*b2+a2^2*b3+。。。+a(n)^2*b(n+1)==∑{1≤k≤n} a(k)^2*b(k+1)= ∑{1≤k≤n} { a/[（k-1）a+1]}^2*[(k-1) a+1]/[ka+1]==∑{1≤k≤n} a^2/[(k-1) a+1][ka+1]== ∑{1≤k≤n} a{1/[(k-1) a+1]-1/[ka+1]}= a∑{1≤k≤n} {1/[(k-1) a+1]-1/[ka+1]}==a[1-1/(na+1)]= na^2/(na+1)。。