已知三棱柱S-ABC三條側棱SA，SB，SC兩兩垂直，它們與底面ABC成角分別為α ，β ，γ求證：SIN^2(α) +SIN^2(β )+SIN^2(γ)為定植,并求此值(注:^2是平方) 這個問題問了好幾天了，這次可一定要有人來答。。。

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證明:設S在底面ABC上的射影為O,連AO,BO,CO。并設AO,BO,CO交對邊與D,E,F。∵SA⊥SB,SA⊥SC∴SA⊥面SBC∴SA⊥BC又SO⊥底面ABC,由三垂線定理可得:∴AO⊥BC,同理BO⊥AC,CO⊥AB∴O是△ABC的垂心。在△ASD中,∵SO⊥底面ABC,∴SA與底面ABC成角就是∠SAO=α。∴sinα=SD/AD=∴sin^α=SD^/AD^又射影定理(平面幾何)可得:SD^=DO·AD[注:或利用△SOD∽△ASD]∴sin^α=SD^/AD^=DO·AD/AD^=DO/AD又三角形OBC的面積為ＳOBC=(1/2)BC·DO。三角形ABC的面積為ＳABC=(1/2)BC·AD。DO/AD=ＳOBC/ＳABC∴sin^α=ＳOBC/ＳABC同理sin^β=ＳOAC/ＳABC,sin^γ=ＳOAB/ＳABCsin^α+sin^β+sin^γ=ＳOBC/ＳABC+ＳOAC/ＳABC+ＳOAB/ＳABC=(ＳOBC+ＳOAC+ＳOAB)/ＳABC=1。

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致新浪：你們在給予我的答復中已經保證不再毀滅上傳的文件。很遺憾！剛才我的一篇解答，又被系統以錯誤的“字數超過10000”，“出錯了”的判詞毀滅。要知道在打出數學——尤其是幾何的文件的時候，需要在中文、英文、數學符號之間來回變換。短短的幾百字文件，對一個不熟悉電腦，更不會打字的人來說是多么的不容易呀！更何況解答數學問題還需要同時進行嚴密的思考——邏輯推理啊！你們的系統的準確程度太差了！而且缺少同情心。本著對新浪的愛護、對誠心求知的莘莘學子的關愛，也為了在《知識人》貢獻熱心的網友不再招到無辜的“犧牲”，奉勸新浪諸君努力工作吧，不要再制造“冤假錯案？了！下面不需要更多的思考了，再使用約40分鐘打出這篇解答，請大家評一評吧。證：因為三棱錐S-ABC中，SA⊥SB，并且SA⊥SC,所以SA⊥平面SBC。根據平面圖形（面積S）與它在另一個平面內的射影（面積S'）以及二平面的二面角α的關系：S'/S=cosα---S'=Scosα。知道S(SBC)=Scosa 同理S(SCA)=Scosb;S(SAB)=Scosc。[S=S(ABC)]。設頂點在平面內的射影是點。則有S(TBC)=S(SBC)cosa; S(TCA)=S(SCA)cosb, S(TAB)=S(SAB)cosc。因為 S(TBC)+S(TCA)+S(TAB)=S(ABC)---S(SBC)cosa+S(SCA)cosb+S(SAB)cosc=S---(Scosa)cosa)+(Scosb)cosb)+(Scosc)cosc=S---(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2=1---[1-(sina)^2]+[1-(sinb)^2]+1-(sinc)^2]=1---(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2。 證完。。

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你這不是三棱柱，是三棱錐。解起來頗為麻煩，我掐指算了一下，值可能是2【看到樓下嚴謹的工作態度與務實的工作作風，非常感動。老板你就采納了他的答案吧！還等什么呢？】【嗨！當然采納“yilwohz”的答案了。并不是因為他是智者，而是他先回答呀！滄海先生不要生氣，只好委屈你了。至于我，因為沒回答你的提問，愧于見人，你當我不存在好了。】【在此我謹向滄海先生及所有人致以最誠懇的歉意！滄海先生的答案是正確的。我掐算錯了，看來科學真是來不得半點虛假。我沒有理解清題意，題目的條件是棱與面ABC的夾角，不是面SAB與面ABC的夾角。“yilwohz”可能也犯了相同的錯誤。我誤導了別人，也禍害了自己。該死！】