已知扇形的周長為c(c>0),當扇形的中心角多大時，它有最大的面積，最大面積為多少

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分析一。 本題將扇形周長表達式c=2r+l 變形為l=c-2r，代入扇形面積公式S=(1/2)lr，將其化為關于扇形半徑r的二次函數，然后利二次函數的及值公式證明結論．解法一。 設扇形的半徑為r，弧長是l，面積為S，則周長為2r+l．由已知周長為c(c是常數)，根據扇形的面積公式，得分析二。 本題利用均值定理，放縮法使扇形面積S（分式）的分母取最小值，從而使S（分式）達到最大值．解法二。 設扇形的半徑為r，中心角為θ，扇形的面積為S，則c＝2r＋rθ，二個解法詳解見附件

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解:設扇形的半徑r為中心角為α則弧長為αr,扇形面積S=1/2×(αr)×r=αr^2/2c=2r+αr≥2√(2αr^2). .①兩邊平方得αr^2≤c^2/8,當且僅當2r=αr即α=2時取最大值,∴S=αr^2/2≤c^2/16所以扇形的中心角等于2時，它有最大的面積，最大面積為c^2/16.說明:不等式.①的理論根據是:若a0,b0則a+b≥2√(ab),當a=b時取等號.

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C=2R+a*Pi*R/180=(2+a*PI)*Ra=(C-2R)*180/(Pi*R)R=C/(2+a*PI)S=a*Pi*R*R/360=(C-2R)*180*Pi*R*R/(Pi*R*360) =(C-2R)*R/2 =C/2-R*RS=C/2-(C/(2+a*Pi))2 =C/2-C*C/(2(2+a*Pi))所以a最大時S最大,成圓形了.