過原點的直線與圓 x平方+y平方-6x+5=0 交于A、B兩點,求弦AB的中點M的軌跡方程.希望各位數學高手賜教!萬分感謝!

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過原點的直線與圓 x平方+y平方-6x+5=0 交于A、B兩點,求弦AB的中點M的軌跡方程。解:設:過原點的直線L為y=kx A點坐標(x1,y1) B點坐標(x2,y2) y=kx代入x^2+y^2-6x+5=0(1+k^2)x^2-6x+5=0△=(-6)^2-4*5*(1+k^2)=0k^2=4/5x=5/3 y=±(2/3)*5^(1/2)則: M點坐標[x=(x,y](x1)^2+(y1)^2-6(x1)+5=0 。。。。。(1)(x2)^2+(y2)^2-6(x2)+5=0 。。。。。(2)(1)-(2):(y1)^2-(y2)^2=-[(x1)^2-(x2)^2]+6(x1-x2)[(y1-y2)(y1+y2)]={(x1-x2)[6-(x1+x2)]}(y1-y2)/(x1-x2)=[6-(x1+x2)]/(y1+y2)∵ (y1-y2)/(x1-x2)=k=y/x x=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)/2∴ y/x=(6-2x)/2yy^2=3x-x^2弦AB的中點M的軌跡方程為:x^2-3x+y^2=0 x∈[5/3,5] y∈[-(2/3)*5^(1/2),+(2/3)*5^(1/2)]。

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設直線 y=kx代入園方程(k^2+1)x^2-6x+5=0AB的中點為 ((Xa+Xb)/2,k(Xa+Xb)/2)Xa+Xb = 6/(k^2+1)所以 Xm = (Xa+Xb)/2 = 3/(k^2+1)又 k = Ym/Xm所以 Xm = 3/((Ym/Xm)^2+1)

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過原點的直線與圓 x^+y^-6x+5=0 交于A、B兩點,求弦AB的中點M的軌跡方程.圓x^+y^-6x+5=0 設過原點的直線為 y=kx，代入圓方程：(k^+1)x^-6x+5=0設A、B坐標為(x1,kx1),(x2,kx2),AB中點M坐標為（x,y）,則：判別式=36-20(k^+1)＞0----k^＜4/5,-2√5/5＜k＜2√5/5x=(x1+x2)/2=6/(k^+1) .......................................(*)y=k(x1+x2)/2=kx-----k=y/x,帶入(*):6/x=(y^/x^)+1---〉6x=y^+x^∴M的軌跡方程為x^+y^-6x=0，其中，x=1/(k^+1)∈（1/(4/5+1),1/(0+1)）=(5/5,1)

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用"點差法"很簡單

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設直線 y=kx代入園方程(k^2+1)x^2-6x+5=0AB的中點為 ((Xa+Xb)/2,k(Xa+Xb)/2)Xa+Xb = 6/(k^2+1)所以 Xm = (Xa+Xb)/2 = 3/(k^2+1)又 k = Ym/Xm所以 Xm = 3/((Ym/Xm)^2+1)