M和N使高度同為h的圓柱形容器,底面半徑為r和R,且r＜R,一水管單獨向M注水,用t分鐘可以注滿容器M,現將兩容器在它們高度的一半處用一個細管連通(連通細管的容積不計)仍用該水管向MM注水,問2t分鐘時,容器M鐘水的高度是多少?

熱心網友

M和N使高度同為h的圓柱形容器,底面半徑為r和R,且r＜R,一水管單獨向M注水,用t分鐘可以注滿容器M,現將兩容器在它們高度的一半處用一個細管連通(連通細管的容積不計)仍用該水管向MM注水,問2t分鐘時,容器M鐘水的高度是多少? 設水的高度是X,得 2*Pi*r*r*h=(Pi*r*r+Pi*R*R)*X X=2*Pi*r*r*h/(Pi*r*r+Pi*R*R)

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M和N使高度同為h的圓柱形容器,底面半徑為r和R,且r＜R,一水管單獨向M注水,用t分鐘可以注滿容器M,現將兩容器在它們高度的一半處用一個細管連通(連通細管的容積不計)仍用該水管向MM注水,問2t分鐘時,容器M鐘水的高度h(2t)是多少?t分鐘可以注滿容器M,----每分鐘注水量=πr^h/t∴開始，水管單獨向M注水,注滿一半需t/2分鐘；然后，水管通過細管單獨向N注水,注滿一半需： (1/2)πR^h/(πr^h/t)=(R^/2r^)t分鐘；最后，水管通過細管向(M+N)注水，注滿剩余的一半需：t/2+(R^/2r^)t分鐘。∴當x≤t/2時，h(x)=xπr^h/t/(πr^)=(h/t)x當t/2≤x≤t/2+(R^/2r^)t時，h(x)=h/2當t/2+(R^/2r^)≤x≤t+(R^/r^)t時，h(x)=h/2+xπr^h/t/(πR^+πr^)=h/2+r^h/(R^+r^)x∵r＜R，∴t+(R^/r^)t＜2t當2t≤t/2+(R^/2r^)t，即：r≤√3R/3時，h(2t)=h/2當2t＞t/2+(R^/2r^)t，即：√3R/3＜r＜R時，h(2t)=h/2+r^ht/(2R^+2r^)。