101、10101、1010101、101010101……中一共有幾個是質(zhì)數(shù)？101、10101、1010101、101010101……中一共有幾個是質(zhì)數(shù)？

熱心網(wǎng)友

101、10101、1010101、101010101……設(shè)以上數(shù)列為{an}有：a1=10^0+10^2a2=10^0+10^2+10^4。。。an=10^0+10^2+。。。。+10^(2n)an=(10^(2n+2)-1)/99=[10^(n+1)+1][10^(n+1)-1]/99當(dāng)n=1時，a1=101是質(zhì)數(shù)。當(dāng)n=2k≥2（k為正整數(shù)）時：an=[10^(2k+1)+1][10^(2k+1)-1]/99=[(10*100^k+1)/11][(10*100^k-1)/9]即：(10*100^k+1)/11＞1，(10*100^k-1)/9＞1∴an不是質(zhì)數(shù)當(dāng)n=2k+1≥3（k為正整數(shù)）時：an=[10^(2k+2)+1][10^(2k+2)-1]/99=[10^(2k+2)+1]{[100^(k+1)-1]/99}即：10^(2k+2)+1＞1，[100^(k+1)-1]/99＞1∴an不是質(zhì)數(shù)綜上，原數(shù)列中只有第一項是質(zhì)數(shù)。