有嚴格一點的證明嗎？

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這個命題是錯誤的，當然是無法證明的。舉一個最簡單的例子：設隨機變量X服從0—1分布，其分布律為：P(X=0)=2/3,P(X=1)=1/3，則E(X)=1/31/4，但P(X1/4)=P(X=1)=1/3<1/2。