在棱長為a的正四面體V-ABC中，N為VA的中點，VO垂直平面ABC于O.(1)求VO被平面BNC分成兩線段之比(2)求點O到平面BNC的距離

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過V做直線VE垂直于BC，交點為E，連AE。易證明BC垂直VE和AE，所以平面VEA垂直平面ABC。于是O點在AE上，過N點做垂線NF垂直平面，于是F點也在AE上。設VO與平面BNC交于O'，則對于三角形VOA而言，由于N是AV的中點，所以NF=1/2VO，所以F點是AO的中點，而O點是三角形ABC的重心，所以OF=OE，于是得到OO'=1/2NF=1/4VO，即OO'/VO'=1/3。第二問中，設O到三角形BNC的垂線為OP，則VO與OP的夾角等于平面ABC與平面BNC間的二面角，設為b，由第一問中的分析可知，該角的正切等于根號2/2，即tanb=(根號2)/2，于是cosb=2/(根號6)。由于OP=OO'*cosb，而OO'=（根號6）*a/12，所以要求的長度=a/6。

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(1)連結AO,并延長交BC于D,連結DN,則可證DN與VO相交，交點為F,過O作OE∥FN交VA于E。求得AD=a√3/2,AO=a√3/6,所以AO/AD=1/3,因為OE∥DN,所以AE/AN=AO/AD=1/3,故AE=1/3×AN=a/6,則EN=AN-AE=a/3,因為OE∥FN，所以VF/OF=VN/EN=(a/2)/(a/3)=3/2,所以VO被平面BNC分成兩線段之比為3/2(2)過O作OM∥AN交DN于M,因為N為VA的中點，所以AV⊥BN,AV⊥CN,故AV⊥平面BNC，又OM∥AN，所以OM⊥平面BNC,故OM的長為點O到平面BNC的距離。OD=AD-AO=a√3/2-a√3/6=a√3/3,又OM∥AN，所以OM/AN=OD/AD,則OM=OD/AD×AN=(a√3/3)/(a√3/2)×(a/2)=a/3。所以點O到平面BNC的距離為a/3。。

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畫出面AOV截這個四面體的截面，設截面為ACQ 且面BNC截VO的點為M 則在三角形ACQ中 AO OQ CO CA AN 都已知，CM比MO就出來了吧！答案是3：1吧！第二問你先求出N-BOC的體積 再算出BNC的面積，然后再以BNC為底求面積，得出O到BNC的距離！