f(x,y)=根號下｜xy｜,問:在點(0,0)處是否連續(xù),偏導數是否存在,是否可微?(請附加證明)

熱心網友

1、f(x,y)=√|xy|=(xxyy)^(1/4)是初等函數，定義域是整個平面，所以它在整個平面內連續(xù)，當然在原點處連續(xù)。2、因為[f(△x,0)-f(0,0)]/(△x)=0,令△x→0極限為0，即f(x,y)在原點處關于x的偏導數存在，且等于0；類似可得，f(x,y)在原點處關于y的偏導數存在，且等于0。3、如果函數在原點處可微，則dz=0，且△z-dz=√|△x△y|應該是ρ=√(△x^2+△y^2)的高階無窮小，但（√|△x△y|）/ρ當令△y=△x，而△x→0時的極限等于1/√2≠0，所以函數在原點處不可微。