lim 2 的n次方*sin x/2的n次方， n 趨于無窮，x 為不等于零的常數

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lim[2^n * sin(x/2)^n] = lim[2*sin(x/2)]^n, (n趨于無窮，x為不等于零常數)顯然：|sin(x/2)| 1/2時, lim[2*sin(x/2)]^n = 無窮, (n 趨于無窮)sin(x/2) = 1/2時, lim[2*sin(x/2)]^n = 1, (n 趨于無窮)-1/2 < sin(x/2) < 1/2時, lim[2*sin(x/2)]^n = 0, (n 趨于無窮)sin(x/2) = -1/2時, lim[2*sin(x/2)]^n = 沒有極限, (n 趨于無窮)

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(1)當n趨于正無窮時,2的n次方就趨于正無窮,x/2的n次方就趨于0,sinx/2的n次方就等價于x/2的n次方,所以,這時2 的n次方*sin x/2的n次方就趨于2 的n次方*x/2的n次方即2 的n次方*sin x/2的n次方就趨于不等于零的常數x.(2)當x趨于負無窮時,2的n次方就趨于0,而sin x/2的n次方是有界量,所以,這時2 的n次方*sin x/2的n次方就趨于0.綜上所述,2 的n次方*sin x/2的n次方當n 趨于無窮時的極限為不等于零的常數x或0.