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例談中考試題的不等式應用題-------------------------------------------------------------------------------- 　　中考對不等式這一知識點的考查，從2001年全國各地的試題看，過去那種傳統題型已明顯減少或正在消失，而代之以更具活力的應用題的形式出現。眾所周知，能力的落腳點在應用，不等式同其它知識一樣，一旦走向應用，就更具有廣闊的市場，如河北省的中考試題中，數學應用題分值高達71分，占59%，其中不等式應用題就有兩題，廣州市的中考試卷甚至以不等式的應用題為壓軸題。本文僅就不等式應用題的特征與解答作些探討，僅供參考。　　一、單一不等式應用題例1、(河北省)在一次“人與自然”知識競賽中，競賽試題中共有25道題，每道題都給出4個答案，其中只有一個答案正確，要求學生把正確答案選出來，每道題選對得4分，不選或選錯倒扣2分，如果一個學生在本次競賽中得分不低于60分，那么他至少選對了______道題。　　評析：不等式應用題的難點之一是辨別它與方程應用題的異同，如何列出不等式，要善于抓住題中“不低于”、“至少”等字詞的數學含義。本題中對“倒扣2分”應理解為不選或選錯，實際應扣6分，故當設選對了x道題，則不選或選錯題為(25-x)道，則有　　100-6(25-x)≥60　　解出：x≥18x=19，即他至少選對了19道題。　　例2、(某市)足球比賽的計分規則為：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一個隊應打15場已負3場，若要想積22分，那么這個隊至少還要勝(　　)　　A、3場　　　　B、4場　　　　C、5場　　　　D、6場　　評析：一場足球比賽結果有三種情況：勝、平、負，若設還要勝x場，其余為打平，則　　3x+12-x≥22　　推出x≥5　　為什么不能列方程：3x+12-x=22，因實際得分小于或等于3x+12-x(以后的比賽中有可能輸)，故　　3x+12-x≥實際得分=22　　例3、(北京市東城區)商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電量為1度，而B型節能冰箱每臺售價雖比A型冰箱高出10%，但每日耗電量卻為0。55度，現將A型冰箱打折出售(打一折后的售價為原來的)，問商場至少打幾折，消費者購買才合算(按使用期為10年，每年365天，每度電0。40元計算)。　　解：現將A型冰箱打x折出售，購買才合算，依題意有：　　2190×+365×10×0。4≤2190×(1+10%)+365×10×0。55×0。4　　推出x≤8　　即商場應將A型冰箱至少八折出售，消費者購買才合算。　　評相：本例運用解不等式為市場營銷中的購銷行為提供決策。　　二、綜合方程式，函數式的不等式應用題　　例4、(山西省)某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品，經過市場調查發現，如果月初出售可獲利15%，并可用本利和再投資其他商品，則月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付出倉庫儲倉費用700元，請問根據商場的資金狀況，如何購銷獲利較多？　　解：設投資x元，在月初出售，到月末可獲利y1元；在月末出售可獲利y2元，由題意有：y1=15%·x+10%·(x+15%·x)=0。265x　　y2=x·0。3-700=0。3x-700　　(1)當y1=y2時，解：0。265x=0。3x-700推出x=2000元　　(2)當y1＜y2時，解：0。265x＜0。3x-700推出x＞2000元　　(3)當y1＞y2時，解：0。265x＞0。3x＜700推出x＜2000元　　即當商場投入2000元時，兩種經營方式獲利相同，當投資超過2000元時，第二種方式獲利較多，當投資不足2000元時，按第一種方式獲利較多。　　評析：由第(1)問得出兩個函數式，(2)(3)兩問則利用解不等式，對經營方式進入擇優決策，不等式的應用在此得到了很好的發揮。　　例5、(重慶市)為保護長江，減少水土流失，我市某縣決定對原有的坡荒地進行退耕還林，從1995年起在坡荒地上植樹造林，以后每年又以比上一年多植相同面積的樹木改造坡荒地，由于每年因自然災害，樹木成活率、人為因素等的影響，都有相同數量的新坡荒地產生，下表為1995、1996、1997三年的坡荒地面積和植樹面積的統計數據，假設坡荒地全部種上樹后，不再水土流失，問到哪一年可以將全縣所有坡荒地全部種上樹木。　 1995 1996 1997 每年植樹的面積(畝) 100 1400 1800 植樹后機關報坡荒地折面積(畝) 25200 24000 22400 　　(2)為節約用水，這個市規定：該廠日用水量不超過20噸水時，水價為每噸4元；日用水量超過20噸時，超過部分按每噸40元收費，已知該廠日用水量不少于20噸，設該廠日用水量為t噸，當日所獲利潤為W元，求W與t的關系式；該廠加強管理，積極節水，使日用水量不超過25噸，不少于20噸，求該廠的日利潤的取值范圍。　　解：(1)設y=kx+b，依題意有：　　推出，　　推出y=-x+204　　當x=10，y=194，即每噸10元時，1噸水生產飲料所獲利潤為194元　　(2)由(1)知y=-x+204，當x=4時，y=200，x=40時，y=164　　∴W=200×20+164(t-20)=164t+720(t≥20)　　∴t=，由20≤t≤25，即　　20≤≤25，　　推出4000≤W≤4820　　即該廠日利潤不少于4000元，且不超過4820元　　評價；本題涉及不等式、方程式、函數式的綜合。　　例7、(濟南市)某班在布置新年聯歡晚會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的短形彩條如右圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下寬為1cm的矩形彩條a1，a2，a3……若使裁得的矩形彩條的長都不小于5cm，則將每張直角三角形彩紙裁成的矩形紙條的總數是(　　)　　A、24　　　　B、25　　　　C、26　　　　D、27　　分析：設可裁n條矩形紙條，如圖設第n條矩形的長EF=x，則　　，　　x=(30-n)，又x≥5，　　即(30-n)≥5n≤26　　∴n=26，故選(C)。　　這是一道綜合方程式的不等式應用題。　　例8、(蘇州市)某園林的門票每張10元，一次使用，考慮到人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來的售票方法外，還推出一種“購買個人年票”的售票方法(個人年票從購買日起，可供持票者使用一年)，年票分A、B、C三類：A類年票每張120元，持票者進入園林時無需再購買門票；B類年票60元，持票者進入園林時，需再購買門票每次2元；C類年票每張40元，持票者進入園林時，需要購買門票，每次3元。　　(1)如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出可使進入該園林的次數最多購票方式。　　(2)求一年中進入園林至少超過多少次時，購買A類門票比較合算？　　分析：問題(1)是用80元買門票通過三種形式比較擇優決出進入園林次數最多的購票方式，顯然排除A類年票；　　若選B類年票，則次數為　　=10(次)；　　若選C類年票，則次數為　　=13次；　　若不購年票，隨買隨進，則只能進　　=8次　　經上述比較，購買C類年票進入園林的次數較多為13次　　問題(2)涉及不等式，設至少超過x次購買A類門票比較合算，則有：　　　　故一年中進入園林至少超過30次時，購買A類門票比較合算。　　本例以旅游為背景，借助不等式這一知識為旅游提供合算的消費決策。象這種不等式的應用題在過去的中考試題中很少見到。　　例9、(廣州市)在車站開始檢票時，有a名旅客在候車室排隊等候檢票進站，檢票開始后仍有旅客繼續來檢票進站，設旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的，若開放一個檢票口，則需30分鐘才可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個檢票口，則只需10分鐘便可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在5分鐘內將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時開放幾個檢票口？　　分析：本例建立數學模型是難點，涉及旅客人數，檢票速度，開放檢票口個數都需以字母表出，再理清等量關系(方程)與不等量關系(不等式)設陸續進站的旅客每分鐘x人，每個檢票口每分鐘檢y人，要在5分鐘內檢票完畢同時開放n個檢票口，則由題意有：　　　　①-②并化簡：y=2x，　　代入①，a=30(y-x)=30x　　將y=2x，a=30x代入③，　　35x≤10nxn≥3。5n=4　　本例以旅客進站檢票為背景，利用方程與不等式等數學知識，為疏通旅客流量，合理安排檢票口，為旅客提供優質高效服務的最優決策。象這種以不等式的應用題作為中考試題的壓軸題，以前從未出現過，是中考史上的首例。　　例10、(陜西)乘某城市的一種出租汽車起價是10元(即行駛路程在5km以內都需付10元車費)，達到或超過5km后，每增加1km加價1。2元(不足1km按1km計)現在某人乘此出租汽車從A到B付車費17。2元，問從A到B大約有多少路程？　　分析：設從A到B大約為xkm，則：　　16＜10+(x-5)×1。2≤17。210＜x≤11　　即從A到B大約長10至11公里　　例11、(某市)某通訊公司規定在營業網內通話收費為：通話前3分鐘0。5元，通話超過3分鐘每分鐘加收0。1元(不足1分鐘按1分鐘計算)某人一次通話費為1。1元，問此人此次通話時間大約為多少？　　分析：設此人通話時間為x分鐘，則：　　1＜0。5+(x-3)×0。1≤1。18＜x≤9。　　即此人此次通話時間大約在8分至9分鐘之間。　　例12、(甘肅省)某市20位下崗職工在近郊承包50畝土地辦農場，這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種這幾種農作物每畝地所需職工數和產值預測如下表：作物品種 每畝地需職工數 每畝地預計產值 蔬菜 1100元 煙葉 750元 小麥 600元 　　請你設計一個種植方案，使每畝地都種上農作物，20位職工都有工作，且使農作物之預計總產值最多。　　分析：設種植蔬菜、煙葉、小麥各x畝、y畝，(50-x-y)畝，由題意有：　　x+y+(50-x-y)=203x+y=90y=90-3x　　再設預計總產值為W(元)，則　　W=1100x+750(90-3x)+600(50-x-90+3x)　　再將y=90-3x代入　　W=50x+43500　　這是一個關于x的一次函數，其最值決定于x的取值范圍，關鍵在于如何列出關于x的不等式，反復審查題意，發現有　　y=90-3x≥00＜x≤30，　　此時x取最大值30，代入　　W最大=43500+50×30=45000(元)，　　于是得出方案：　　不種煙葉，而種蔬菜30畝，小麥20畝，且安排15人種蔬菜，5人種小麥方可獲得最大的經濟效益。　　這是一道決策型試題，而不等式的應用，最終為最佳方案的決策起到了不可忽略的作用。　　從以上例析，我們可以清楚地看出，2001年中考對不等式的考查，不僅從分值和檔次上上了一個臺階，而且普遍側重于應用題，再不是往年那種低分值低檔次的老模樣。筆者認為不等式的應用題，不僅在中考試題中牢牢占有一席之地，而且從知識結構看它與方程式、函數式等密不可分，又因為它從基礎題或常規題型中脫穎而出走向應用，則更具廣闊的前景，隨著考試側重能力的日趨明朗，不等式的應用題必將受到更多的命題者的親睞。載自《理科考試研究》(初中) 。