已知函數Y= f(x)的定義域為R,且對任意X.X'屬于R均有 f(x+X')=f(X)+ f(x')且對任意X>0,都有f(X)<0, f(3)=-3(1)試證明:函數Y=f(X)是R上的單調減函數;(2)試求函數Y=f(X)在[m,n]上的值域.(m,n屬于Z,且m.n<0)

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已知函數Y= f(x)的定義域為R,且對任意X.X'屬于R均有 f(x+X')=f(X)+ f(x')且對任意X0,都有f(X)0,都有f(X)x1,不妨令x2=x1+e,其中e為一正數,有f(x2)=f(x1+e)=f(x1)+f(e)0又由于函數y＝f（x）是R上的單調減函數．所以y＝f（x）在［m，n］上也為單調減函數，即y＝f（x）在［m，n］上的最大值為f（m），最小值為f（n）．顯然f(n)＝f[1＋(n－1)]＝f(1)＋f(n－1)＝2f(1)＋f(n－2)＝……＝nf(1),同理f(m)＝mf(1)f(3)=3f(1)=-3，所以f(1)=-1.所以f(m)=-m,f(n)=-n．因此函數y＝f(x)在［m，n］上的值域為[-n,-m]．

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1)對任意兩個數x1,x2,且x2x1,不妨令x2=x1+e,其中e為一正數,有f(x2)=f(x1+e)=f(x1)+f(e)0

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分析:（1）可根據函數單調性的定義進行論證，考慮證明過程中如何利用題設條件；（2）由（1）的結論可知f（m）、f（n）分別是函數y＝f（x）在［m、n］上的最大值與最小值，故求出f（m）與f（n）就可得所求值域．（1）證明:任取x1，x2∈R，且x1x1，∴x2－x10，∴f（x2－x1）<0，∴f（x2）＝f（x1）＋f（x2－x1）