已知三角形ABC中，E,F分別是AB,BC的中點，M,N 是AC的兩個三等分點，EM 與FN的延長線交與點D，求證四邊形ABCD是平行四邊形

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設G為AC的中點(故GE/BC=1/2,且GE//BC)，得GM/AM=1/2……（1）根據(jù)題意可知：EF//AC，且EF=1/2*AC,而MN=1/3*AC故MN/EF=DM/DE=2/3，因此EM/DM=1/2……（2）由（1）和（2）可得GE//AD，且GE/AD=1/2所以AD=BC,且AD//BC同理CD=AB,且CD//AB故而得證四邊形ABCD是平行四邊形。

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是平行四邊形

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過E作EG∥BC交AC于G,交CD于H∵E是AB的中點,∴G為AC的中點,又∵M,N是AC的三分點,∴AM=MN=NC=1/3AC∴GM=AG－AM=1/2AC－1/3AC=1/6AC即GM/AM=1/2 (1)又E,F分別是AB,BC的中線,∴EF∥AC,且EF=1/2AC∴MN/EF=2/3∴DM/DE=MN/EF=2/3∴EM/MD=1/2 (2)由(1),(2)知: GM/AM=EM/MD=1/2所以AD∥EH,∵EH∥BC,∴AD∥BC又,AM/MC=1/2即AM/MC=EM/MD=1/2所以AE∥DC所以四邊形ABDC是平行四邊形

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證明：由題：EF／／AC。所以：三角形DEF相似于三角形DMN因此：MN/EF = DM/DE = DF/DN而： MN/EF = （AC/3）/（AC/2）= 2/3所以：DM/DE = DF/DN = 2/3 DM/ME = DN/NF = 2/1 = AN/NC = CM/MA所以：三角形AME相似于三角形CMD；三角形AND相似于三角形CNF 角BAC = 角ACD；角BCA = 角CAD CD平行于AB；AD平行于BC因此，ABCD為平行四邊形

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證明：連結(jié)E、F，則EF／／AC。∵EF／／MN∴ MN:EF=DN:DF∵EF=1/2 ，MN= 1/2AC∴ DN:DF=2:3,DN:NF=2 ∵ NC:AN=1:2∴AD／／FC ∴ FC:AD=1:2∵ FC:BC=1:2∴AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形