如果直線y=x+b與橢圓x^2+4y^2-4x+8y+4=O相交與MN兩點,那么弦MN的最大值??

熱心網友

把y=x+b代入x*2+4y^2-4x+8y+4=0得到5x^2+4(2b+1)x+4(b+1)^2=0(*)于是x1+x2=-4/5*(2b+1)(1);x1*x2=4/5*(b+1)^2(2)(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=[4/5(2b+1)]^2-4*4/5*(b+1)^2=16/25*[(2b+1)^2-5(b+1)^2]=16/25*(-b^2-6b-4=-16/25*(b^2+6b+4)因為|MN|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(x1-x2)^2{1+[(y1-y2)/(x1-x2)]^2}=(x1-x2)^2(1+k^2)【k是直線MN:y=x+b的斜率】=-16/25*(b^2+6b+4)*(1+1)=-32/25*(b^2+6b+4)=-32/25*(b+3)^2+32/5。所以弦長|MN|的最大值為(32/5)^。5=4/5*10^。5。此時對應的b的值是-3。

熱心網友

消去y，得x^2＋4(x＋b)^2－4x＋8(x＋b)＋4＝O即　5x^2＋(8b＋4)x＋4b^2＋8b＋4＝0設M，N點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由韋達定理得：x1＋x2＝－(8b＋4)/5，x1x2＝(4b^2＋8b＋4)/5，所以　|MN|^2＝(x1－x2)^2＋(y1－y2)^2　　　　　　＝(x1－x2)^2＋[(x1＋b)－(x2＋b)]^2　　　　　?。?1＋1)(x1－x2)^2　　　　　?。?[(x1＋x2)^2－4x1x2]　　　　　?。?{[(8b＋4)/5]^2－4*(4b^2＋8b＋4)/5}　　　　　?。?32/25)*(－b^2－6b－4)　　　　　?。?32/25)*[5－(b＋3)^2]所以當b＝－3時，|MN|^2有最大值32/5，|MN|有最大值為(4/5)√10