在三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點在AC上（與A，C不重合），Q點在BC上， （1）當三角形PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長？ （2）當三角形PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長？ （3）試問：在AC上是否存在點M，使得三角形PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長。

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（1）當三角形PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時,三角形PQC的面積=三角形ABC的面積/2,由相似比可知PQ=√2AB/2=(5√2)/2（2）當三角形PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時,CP+CQ+PQ=PQ+AP+BQ+ABCP+CQ=(AC-CP)+(BC-CQ)+ABCP+CQ=6,又CQ=3*CP/4所以CP=24/7,又PQ=5*CP/4所以PQ=30/7 (3)使得三角形PQM為等腰直角三角形的點M是不存在的,由于三角形PQC為直角三角形,角CPQ+角CPQ=90度,要使三角形PQM為等腰三角形,則角MPQ=角CPQ,則角MPQ+角CPQ<90度,不能構成直角三角形.

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1∵AB=5 BC=3 AC=4 ∴ΔABC是RTΔ SΔABC=3*4/2=6 ∵SΔQCP=S 四邊形BQPA∴SΔCQB=QC*CP=6/2=3 ∵AB∥QP∴QC/CB=CP/CA ∴QC/3=CP/4∴QC=3/4 *CP∴CP=2倍根號22． ∵CΔCQP=C四邊形BQPA-/2 QC+CP+QP=QP+QB+PA+AB QC+CP=QB+BA+PA QC+CP=3-CQ+BA+4-CP ∵QC/3=CP/4∴3/4 CP+CP=3-3/4 CP+5+4-CP CP=24/73． 不會有點M滿足題意，∵QP∥AB ∴RTΔMPQ中M與點C重合 QM/MP=3/4 ∴ΔMPQ∽ΔABC