１．求證：3^n > (n^2+3n+8)*2^(n-3) (n>2,n∈N)２．若n∈N且n>2,求證：x^n-nx+n-1 能被(x-1)^2整除。

熱心網友

１．求證：3^n (n^2+3n+8)*2^(n-3) (n2,n∈N)這題用數學歸納法證明。n=3時。左=27，右=26，不等式成立設n=k時不等式成立當n=k+1時，右=[(k+1)^2+3(k+1)+8]*2^(k-2)=[(k^2+3k+8)+(2k+4)]*2^(k-2)=2*(k^2+3k+8)*2^(k-3)+(k+3k+8)*2^(k-3)2,求證：x^n-nx+n-1 能被(x-1)^2整除。對任正整數k，x^k-1=(x-1)[x^(k-1)+x^(k-2)+。。。+x+1]都含有因式(x-1)x^n-nx+n-1=(x^n-1)-n(x-1)=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+。。。+x+1-n]=(x-1){[x^(n-1)-1]+[x^(n-2)-1]+。。。+[x-1]}大括號內每一項都含有因式(x-1)，提取這個公因式，這樣x^n-nx+n-1就含有因式(x-1)^2，所以x^n-nx+n-1 能被(x-1)^2整除。。

熱心網友

1.樓上兩位已經有精彩的回答不用我說了!2. 只要證明(x+1)^n-n(x+1)+n-1=(x+1)^n-nx-1能被x^2整除即可!用二項式定理展開(x+1)^n就可以了!

熱心網友

證明；1。3^n=(2+1)^n=2^n+2^(n-1)*n+2^(n-2)*n(n-1)/2+2^(n-3)*n(n-1)(n-3)/6+。。。。。。n2;C(n,k)*2^(n-k)+。。。。。0---3^n2^n+2^(n-1)*n+2^(n-2)*n(n-1)/2---3^n2^(n-3)*[2^3+2^2*n+n(n-1)]---3^n2^(n-3)*(8+4n+n^2-n)---3^n2^(n-3)(n^2+3n+8)。證完。2。x^n-nx+n-1=[(x-1)+1]^n-n(x-1)-1=[(x-1)^n+n(x-1)^(n-1)+。。。。。。+n(n-1)/2*(x-1)^2+n(x-1)+1]-n(x-1)-1=(x-1)^n+。。。。。。+n(n-1)/2*(x-1)^2在這里得到的多項式的所有各項都含有(x-1)^2，所以它們的和能夠被(x-1)^2整除。因此原命題成立。證完。