已知，一直線上按順序排列著四個點A.B.C.D，且AB：BC=AD：CD 。求證：1/AB+1/AD=2/AC

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設A為原點，AB=a

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證明:設AB=a,BC=b,CD=c,則AD=AB+BC+CD=a+b+c,AC=a+b, 因為AB:BC=AD:CD,所以a:b=(a+b+c):c,即a*c=b*(a+b=c)=ab+b*b+bc, 在等號兩邊都加上2a*a+2ab+ac,則2a*a+2ab+ac+ac=2a*a+2ab+ac+ab+b*b+bc 即2a*a+2ab+2ac=2a*a+2ab+ab+b*b+ac+bc 即2a(a+b+c)=2a(a+b)+b(a+b)+c(a+b) =(a+b)(2a+b+c) 所以(2a+b+c):a(a+b+c)=2:(a+b) 因為1/a+1/(a+b+c)通分后等于(2a+b+c)/a(a+b+c) 所以1/a+1/(a+b+c)=2:(a+b) 即1/AB+1/AD=2/AC。

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∵AB:BC=AD:CD故BC:AB=CD:AD又BC=AC-AB,CD=AD-AC∴(AC-AB):AB=(AD-AC): :AD故1/AB+1/AD=2/AC