已知:兩個(gè)一元二次方程,ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0只有一個(gè)公共根.求代數(shù)式(a^3+b^3+c^3)/abc的值

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因?yàn)閍≠0 ,所以公共根x≠0因?yàn)閍x^2+bx+c=0 , bx^2+cx+a=0 ，所以ax^3 +bx^2 +cx=0 ,bx^2 +cx+a=0由兩方程相減得：a(x-1)(x^2+x+1)=0 ，因a≠0 ,所以 公共根為x=1或x=ω 或x=ω^21。當(dāng)x=1時(shí),ax^2+bx+c=0的另一根為x=c/a ,bx^2+cx+a=0的另一根為：x=a/b這兩根不等，所以x=1 是兩方程的唯一公共根。當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c = 0 ,所以(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)=0即a^3+b^3+c^3 -3abc=0 ,a^3+b^3+c^3 =3abc所以原式 =(a^3+b^3+c^3)/abc = 3abc/abc = 32。當(dāng)x=ω 時(shí)，a*ω^2 +bω+c=0 ,因?yàn)?a*ω^2 + aω +a=0 所以兩式相減得:(b-a)ω+(c-a)=0 ,即 (b-a)*cos120 +(c-a) +i*(b-a)*sin120=0根據(jù)復(fù)數(shù)相等得：b=a ,c=a ,不過(guò)a=b=c時(shí)，原來(lái)的兩方程不只有一個(gè)公共根不符合題意舍去。3。當(dāng)x=ω^2 時(shí)，同樣分析，不符合題意舍去。綜上：當(dāng)公共根為X=1 時(shí),原式=3。

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0=b(ax^2+bx+c)-a(bx^2+cx+a)=(b^2-ac)x+bc-a^2,(a^2-bc)/(b^2-ac)為ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0的公共根。0=a(ax^2+bx+c)-c(bx^2+cx+a)=[(a^2-bc)x+ba-c^2]x,x不是ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0的根。（c^2-ab）/(a^2-bc)為ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0的公共根。(a^2-bc)/(b^2-ac)=（c^2-ab）/(a^2-bc)，(a^2-bc)^2=(b^2-ac)（c^2-ab）,所以a^4-2a^2bc+b^2c^2=b^2c^2-ac^3-ab^3+a^2cba(a^3+b^3+c^3)=3a^2bc所以(a^3+b^3+c^3)/abc=3。