等差數(shù)列中，前m項和是m/n，前n項和是n/m,m不等于n，則前m n項的和是

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(Sm)/m-(Sn)/n=[ma1+m(m-1)/2*d]/m-[na1+n(n-1)/2*d]/n=[a1+(m-1)/2*d]-[a1+(n-1)/2*d]=(m-n)d/2又(Sm)/m-(Sn)/n=(m/n)/m-(n/m)/n=1/n-1/m=(m-n)/mn---(m-n)d/2=(m-n)/mn[mn---m-nmnd=2S(m+n)=a1+a2+......+am+a(m+1)+a(m+2)+......+a(m+n)=Sm+[(a1+md)+(a2+md)+......+(an+md)][注：a(m+k)=a1+(m+k-1)d=a1+(m-1)d+md=ak+md]=Sm+Sn+nmd=m/n+n/m+2=(m+n)^2/(mn)

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Sm=m/n，Sn=n/m,m≠n，Sm/m-Sn/n=[(a1+am)/2-a1+an)/2}=(am-an)/2=(m-n)d/2==1/n-1/m=(m-n)/(nm),所以nmd=2S(m+ n)=Sm+Sn+nmd=2+m/n+n/m。