(蒲豐投針問題)設平面上畫著一些有相等距離2a（a>0）的平行線，向此平面上投一枚質地均稱的長為2l(l<a)的針。

熱心網友

解：所求概率為 p = (2l)/(πa)。過程如下：以 Y 表示針的中點到“最近的”一條平行線的距離，以 X 表示針與此平行線的夾角（單位是弧度），顯然有：0≤Y≤a（畫圖分析易得）,0≤X≤π（π 是圓周率pai） -------------------（1）針與該平行線相交的充要條件是：Y≤2l·(sinX)/2，即 Y≤l·sinX -------------------（2）作(X,Y)在直角坐標系 ( Y 為縱坐標，X 為橫坐標) 中的圖像，其中滿足條件（1）的圖像是矩形[這個矩形的四個頂點分別是（0,0）（0,a）（π,a）（π,0）]；再作出正弦函數 Y=l·sinX(0≤X≤π)的圖像 ； 則針的中點坐標(X,Y)在矩形區域中等可能地取點；若要相交，則(X,Y)只能在“區域 D”（由 Y=l·sinX 的圖像與 X 軸圍成）中等可能地取點[根據條件（2）]。可見針與平行線相交的 概率p 為圖像中“區域 D”的面積與矩形面積的比：矩形面積是 πa,“區域 D”的面積用積分算得 2l，所以概率為p= (2l)/(πa)。。

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解：所求概率為 p = (2l)/(πa)。過程如下：以 Y 表示針的中點到“最近的”一條平行線的距離，以 X 表示針與此平行線的夾角（單位是弧度），顯然有：0≤Y≤a（畫圖分析易得）,0≤X≤π（π 是圓周率pai） -------------------（1）針與該平行線相交的充要條件是：Y≤2l·(sinX)/2，即 Y≤l·sinX -------------------（2）作(X,Y)在直角坐標系 ( Y 為縱坐標，X 為橫坐標) 中的圖像，其中滿足條件（1）的圖像是矩形[這個矩形的四個頂點分別是（0,0）（0,a）（π,a）（π,0）]；再作出正弦函數 Y=l·sinX(0≤X≤π)的圖像 ； 則針的中點坐標(X,Y)在矩形區域中等可能地取點；若要相交，則(X,Y)只能在“區域 D”（由 Y=l·sinX 的圖像與 X 軸圍成）中等可能地取點[根據條件（2）]。可見針與平行線相交的 概率p 為圖像中“區域 D”的面積與矩形面積的比：矩形面積是 πa,“區域 D”的面積用積分算得 2l，所以概率為p= (2l)/(πa)。。