說明：y等于x加上1除以x平方加1在R上是增函數

熱心網友

設在定義域上有a、b，且ba.則 b-a0,y2-y1=[b+1/(b^2+1) ]-[a+1/(a^2+1)]=(b-a )+[ 1/(b^2+1)-1/(a^2+1)] =(b-a )+[ (a-b)*(a+b)]/[((b^2+1)*(a^2+1)]=(b-a )*[1-(a+b)/ [((b^2+1)*(a^2+1)]因b-a0, 現只需證1-(a+b)/ [((b^2+1)*(a^2+1)]0即(a+b)/ [(b^2+1)*(a^2+1)]0,即(a+b)/ [(b^2+1)*(a^2+1)]0兩個大于0的數相乘，積大于0，故y2-y10故y等于x加上1除以（x平方加1）是R上的增函數。

熱心網友

題目不清。無論是y=(x+1)/(x^2+1) 或者是y=x+(1/x^2)+1，都可以證明，此二者在（－無窮，＋無窮）上都不是增函數。僅對前者證明如下：設x10 又x1^2+10, x2^2+10設x11,x21===x1+12,x2+12，于是(x1+1)(x2+1)42所以(x1+1)(x2+1)-20 于是f(x1)-f(x2)0 ===f(x1f(x2)。因此在（0，＋無窮）上 f(x)是減函數。所以在整個實數集上命題不成立。對第二個函數，也可類似地證明。當然還都可以用導數方法來證明。