已知二次函數f(x)=ax2+bx+c a>0 與X軸有兩個不同的交點若f(c)=0 且0<x<c時，f(x)>0求（1） 比較1/a與c的大小（2） 證明：-2<b<-1（3） 當c>1,t>0 求證：a/t+2+b/t+1+c/t>0

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(1)f(x)=ax2+bx+c a0 說明函數開口向上, 由與X軸有兩個不同的交點可知 方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根 由f(c)=0知 方程ax2+bx+c=0由一根為c 設x1=c,另一根為x2 則 x1*x2=c/a,由x1=c知,x2=1/a 由方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根知x1不等于x2,即1/a≠c 那么只存在兩種情況1/ac或1/ac時,圖象上c在左邊,　函數開口向上,c的左邊的函數值都大于0,滿足 00 當1/a0,不成立 故1/ac實際上1/a,c都大于0,也就是說兩個實根都大于0(2) x1+x2=-b/a 即c+1/a=-b/a 故b=-ac-1 即ac=-1-b, b0,將ac=-1-b代入△得b^2+4b+40即b-2或b0,c0 故1/ac可化為ac-1 b=-ac-1-2 ③ ①、②、③取公共部分得：-21時，c-10 ,ac知aca(c-1) 即(c-1)+aa(c-1)+a a+c-1a[(c-1)+1] a+c-1ac a+cac+1 ④ 又由上題：b=-ac-1 則-b=ac+1⑤ 代入④得到： a+c-b 即a+b+c0 ⑥ 又a/(t+2)+b/(t+1)+c/t =a/(t+2)+c/t+b/(t+1) =at/[t(t+2)]+c(t+2)/[t(t+2)]+b(t+1)/[(t+1)^2] =[at+c(t+2)]/[t(t+2)]+(bt+b)/[(t+1)^2] =(at+ct+2c)/[t(t+2)]+(bt+b)/[(t+1)^2] ⑦ ∵[t(t+2)]=t^2+2t [(t+1)^2]=t^2+2t+1 ∴[t(t+2)](at+ct+2c)/[(t+1)^2] 則⑦(at+ct+2c)/[(t+1)^2]+(bt+b)/[(t+1)^2] =(at+bt+ct+2c+b)/[(t+1)^2] 此時由⑥ a+b+c0 及條件t0知 at+bt+ct=(a+b+c)t0 ⑧ 又 c1則2c2 及 -20 ⑨ (at+bt+ct+2c+b)=(a+b+c)t+(2c+b)0 （由⑧、⑨知） 即 (at+bt+ct+2c+b)/[(t+1)^2]0 故 a/(t+2)+b/(t+1)+c/t⑦(at+bt+ct+2c+b)/[(t+1)^2]0 命題得證 。