已知橢圓x^2/4+y^2/3=1,能否在橢圓上于y軸左側(cè)的部分找到一點M,使點M到左準(zhǔn)線L的距離│MN│為點M到兩焦點F1,F2的距離的等比中項?并說明理由。

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解：在 y 軸左側(cè)的部分，這樣的 M 點不存在。橢圓 x^2/4 + y^2/3 =1 中，a=2, b=根號3， 則 c=1, 橢圓“左頂點”為 (-2,0),離心率 e=c/a=1/2, 左準(zhǔn)線方程為 x=-a^2/c 即 x=-4，設(shè) 點M 與左、右兩焦點的距離分別是 L、R，顯然 L + R = 2a = 4 （橢圓定義）---------------(1)由離心率的定義可知 e = L/│MN│= 1/2, 即 │MN│= 2L，根據(jù)題意有 │MN│·│MN│= 2L·2L = L·R （等比中項）------------(2)由(2)得 R=4L, 代入(1)式，有 5L=4，得 L=0.8, 繼而 │MN│= 1.6。這是不可能的！因為“左頂點”(-2,0) 與左準(zhǔn)線 x=-4 的距離是 2(最短距離)。