已知a的4次方,加b的4次方,加C的4次方,加d的4次方等于4倍abcd，求證a=b=c=d。

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證明:由a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd得: (a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^2)+2[(ab)^2-2abcd+(cd)^2]=0即: (a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0所以 a^2-b^2=0,c^2-d^2=0,ab-cd=0因此 a=b=c=d.注:應(yīng)該補(bǔ)充a,b,c,d同號.否則有多種答案例如: a=b=-c=-d;a=c=-b=-d......

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由公式a+b≥2√(ab)可推知a^4+b^4+c^4+d^4≥4[(a^4)(b^4)(c^4)(d^4)]^(1/4)=4abcd,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)取“＝”，因?yàn)閍^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,故a=b=c=d.

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A^4+B^4+C^4+D^4=[A^2-B^2]^2+[C^2-D^2]^2+2(AB)^2+2(CD)^2 =[A^2-B^2]^2+[C^2-D^2]^2+2[(AB-CD)^2+2ABCD] =[A^2-B^2]^2+[C^2-D^2]^2+4(AB-CD)^2+4ABCD；因： A^4+B^4+C^4+D^4=4ABCD；所以： [A^2-B^2]^2+[C^2-D^2]^2+4(AB-CD)^2=0；也就是各平方項(xiàng)都必須=0；顯見： A=B=C=D； 證畢。說明：A^2+B^2=(A^2-2AB+B^2)+2AB是常用的一個(gè)代數(shù)變換式，本題主要就利用了它。