過橢圓中心任作一直線與橢圓叫于P Q兩點,何時PF1QF2面積最大?設F1 F2為橢圓x2/4 y2/3=1的左 右焦點,過橢圓中心任作一直線與橢圓叫于P Q兩點,何時PF1QF2面積最大?請回答者詳細解釋原因!

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PF1QF2的面積可以轉化成三角形PF1F2與三角形QF1F2的面積之和，而兩三角形面積均等于1\2*F1F2*h,則h最大時面積最大，所以當PQ與Y軸重合時，h最大，即h=b=√3,F1F2=2c=2,三角形面積為√3，則PF1QF2的最大面積為2√3。

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由橢圓的對稱性可知,PF1QF2為平行四邊形,其面積等于F1F2的長乘以PQ兩點的縱坐標差的絕對值,而|F1F2|為定值2,PQ兩點的縱坐標差的絕對值的最大值即為短軸長 2√3。所以當PQ與y軸重合時,PF1QF2的面積最大為4√3.

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設P(x,y),Q(-x,-y)S(PF1QF2)=S(PF1F2)+S(QF1F2) =1/2(2c×|y|+2c×|y|) =2c|y|y∈[-√3,√3]S(PF1QF2)max=2√3