已知0<a<1,求證1/a+4/(1-a)大于等于９

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證明:設1-a=b＞0,則:a+b=1∴1/a+4/(1-a)=1/a+4/b=(a+b)(1/a+4/b)=1+(b/a)+4+(4a/b)=5+[(b/a)+(4a/b)]≥5+2√[(b/a)(4a/b)]=9∴1/a+4/(1-a)≥9

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也就是求1/a+4/(1-a)-9=00

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(1+3a)/a(1-a)令y=(1+3a)/a(1-a)=f(a)ya(1-a)=1+3a-ya^+(y-3)a-1=0判別式(y-3)^-4y=0f(0)=9∴1/a+4/(1-a)≥9

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令a=(sinα)^2,則1-a=(cosα)^2 （設0<α<π/2)原式＝1/(sinα)^2 + 4/(cosα)^2=(cotα)^2+1+4[(tanα)^2+1] =5+[(cotα)^2+4(tanα)^2]≥5+2√[(cotα)^2*4(tanα)^2]=9命題成立，當(cotα)^2=4(tanα)^2，即a=1/3時，取等號注：(cotα)^2+1=1/(sinα)^2 (tanα)^2+1=1/(cosα)^2