直線y＝－3x＋b與圓x2＋y2＝r2的兩個交點記為A、B，設直線OA、OB的傾斜角分別為α、β，求證：cos(α＋β)是與b無關的定值

熱心網友

在等腰△AOB中,底邊AB上的高OC的傾斜角γ與直線y=-3x+b的傾斜角Pi-arctan3的鄰補角arctan3互為余角。所以γ=Pi/2-arctan3.又因為∠BOC=1/2*∠AOB（等腰三角形的性質)容易看出∠AOB=∠xOA-∠xOB=α-β---∠BOC=（α-β）/2---γ=∠xOC=∠xOB+∠BOC=β+（α-β）/2=（α+β）/2---tan[(α+β)/2]=tan(Pi/2-arctan3)=cot(arctan3)=1/3---cos(α+β)=[1-(1/3)^2]/[1+(1/3)^2]=8/10=4/5(萬能公式)所以cos(α+β)是一個與b無關的常數4/5。

熱心網友

首先求出交點坐標,把直線方程代入圓中得A{[3b+(10r-b^2)^0.5]/10,b-(10r-b^2)^0.5]/10,}B{[3b-(10r-b^2)^0.5]/10,b+(10r-b^2)^0.5]/10,}cosa=yA/xA,cosβ=yB/xBcos(α＋β)=cosacosβ-sinasinβ自己帶進去算吧