任意三角形三邊中點(diǎn)，三條高的垂足，高的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的中點(diǎn)，請(qǐng)證明這九點(diǎn)共圓。

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九點(diǎn)圓任一三角形中，三邊的中點(diǎn)，從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所作垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)(也叫歐拉點(diǎn))，這九個(gè)點(diǎn)在同一圓周上，該圓即稱此三角形的九點(diǎn)圓，或歐拉圓。九點(diǎn)圓是幾何史上的一個(gè)名題，最早提出九點(diǎn)圓的是英國的俾凡，他在1804年英國的一本雜志上提出問題。1821年英國的邦色南第一個(gè)給出它的完全證明。著名哲學(xué)家費(fèi)爾巴哈的次兄也曾研究過九點(diǎn)圓，并發(fā)現(xiàn)其重要性質(zhì)，故也有人稱九點(diǎn)圓為“費(fèi)爾巴哈圓”。如圖，在△ABC中，H是垂心，L, M, N是三邊的中點(diǎn)，D, E, F是三邊上高的垂足，P, Q, R是HA，HB，HC的中點(diǎn)，則L，M，N，D，E，F(xiàn)，P，Q，R九點(diǎn)共圓。連LR，LM，LE，PR，PM，PE∵ L，R為BC，HC中點(diǎn)，P為HA中點(diǎn)，∴LR//BE，PR//AC， 又 BE⊥AC，∴ ∠LRP=90o，R是在以LP為直徑的圓上。同理，∠LMP=90o ，又∠ADL=90o ，∴ M，D也在以LP為直徑的圓上?！?PE，LE均為直角三角形斜邊上的中線，∴∠LEP=∠HEP +∠HEL =∠AHE +∠EBL= 90o ，∴E在以LP為直徑的圓上。同理可證，N，Q，F(xiàn)在以LP為直徑的圓上。∴ L，M，N，D，E，F(xiàn)，P，Q，R九點(diǎn)共圓。 九點(diǎn)圓有不少有趣的性質(zhì)：九點(diǎn)圓的半徑等于三角形外接圓半徑的一半。九點(diǎn)圓的圓心為三角形的垂心與外接圓圓心連線的中點(diǎn)。三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓、旁切圓都相切。(本文轉(zhuǎn)載自 。