二、(35分)設集合Sn＝{1，2，L，n}．若X是Sn的子集，把X中所有數的和稱為X的“容量”(規定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數，則稱X為的奇(偶)子集． 1．求證Sn的奇子集與偶子集個數相等． 2．求證：當n≥3時，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．當n≥3時，求Sn的所有奇子集的容量之和．

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Sn＝{1，2，…，n}，Pn={ X，X為Sn的子集}1）歸納法。ⅰ。n=1, S1為奇子集，空集為偶子集。命題成立。ⅱ。設。n=k，Sk的奇子集與偶子集個數相等．則S（k+1）=Sk∪{ k+1}，P（k+1）= Pk∪{ X∪{ k+1}，X為Sk的子集}，由歸納法的假設得Pk中的奇子集與偶子集個數相等，而{ X∪{ k+1}，X為Sk的子集}中的X1∪{ k+1}，X2∪{ k+1}，X1，X2為Sk的子集，且X1，X2的奇偶性不同，則X1∪{ k+1}，X2∪{ k+1}的奇偶性也不同，所以{ X∪{ k+1}，X為Sk的子集}的奇子集與偶子集個數相等，所以P（k+1）中的奇子集與偶子集個數相等。所以1）得證。2）歸納法。ⅰ。n=3, S3的奇子集={1}，{3}，{1，2}，{2，3}Sn的所有奇子集的容量之和=12，偶子集={2}，{1，3}，{1，2，3}，所有偶子集的容量之和=12，命題成立。ⅱ。設。k≥3，n=k，Sk的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．P（k+1）= Pk∪{ X∪{ k+1}，X為Sk的子集}，由歸納法的假設得Pk中的奇子集的容量之和與偶子集的容量之和個數相等，而{ X∪{ k+1}，X為Sk的子集}奇子集的容量之和==Pk中的奇子集的容量之和+ （k+1）*Pk中的奇子集個數== Pk中的偶子集的容量之和+ （k+1）*Pk中的偶子集個數=={ X∪{ k+1}，X為Sk的子集}偶子集的容量之和所以P（k+1）中的奇子集的容量之和與偶子集的容量之和個數相等，所以2）得證。3）Sn中的每個數，在Pn中的X為Sn的子集出現的次數一樣=2^(n-1),則Sn的所有子集的容量之和=2^(n-1)[1+2+。。+n]= n（n+1）*2^(n-2)當n≥3時，Sn的所有奇子集的容量之和= n（n+1）*2^(n-3)。。

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我們把Sn的子集分成兩類，第一類含有元素1,第二類不含1，我們可以在這兩類集合中建立一個一一對應：每一個含有元素1的集合去掉1就成了第二集合，同樣第二類中任一個集合加上1就成了第一類。這個一一對應說明這兩類集合數目是一樣多的。假設第一類集合中有a個奇子集，b個偶子集,那么每一個奇子集在去掉一個1后就成了第二類集合中的偶子集，。。。。。。所以第二類集合中有a個偶子集，b個奇子集。所以奇偶子集的數目都是a+b=2^(n-1)第二問：仔細思考可以發現剛才的第二類集合實際上就是Tn={2,3,。。。,n}的全部子集，類似對Sn的分析，可以得出Tn的子集中奇偶子集數目相等,實際上我們得出了a=b,仍然采用第一問的方法，知道第一類的奇子集去掉1后成了第二類的偶子集，一共減少了a,同樣在第一類的偶子集變成第二類的奇子集的過程中一共也減少了a,這樣奇子集的容量自然和偶子集的容量相等第三問：當然是所有子集容量之和除以2，仍采用一一對應的方法，把Sn的子集兩兩配對：把一個集合和它的補集配對。這樣每一對集合的容量之和是n*(n+1)/2,一共有2^(n-1)對，所以Sn所有子集容量之和是n*(n+1)*2^(n-2)。所以答案是n(n+1)2^(n-3)。