設x,y∈R,向量i，向量j為直角坐標平面內x,y軸正方向上單位向量，a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,設OM=xi+yj(1)求M點軌跡方程（2）過點（0，3）作直線l與M點的軌跡交于A,B兩點，設OP=OA+OB，是否存在這樣的直線L,使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線L的方程；若不存在，是說明理由。

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(1)a=(xi+yj)-(0i-2j)=OM~-OA~=m-c。(c=0i-2j)。。 b=(xi+yj)-(0i+2j)=OM~-OB~=m-d。(d=0i+2j)|a|+|b|=8---|m-c|+|m-d|=8---|OM~-OA~|+|OM~_OB~|=8---{MA|+|MB|=8。恰好完全符合:動點M到兩個定點A,B的距離之和等于定植的橢圓的定義。特別的:2a=8;2c=2-(-2)=4。---b^2=4^2-2^2=12。由定點對應的向量c=0i-2j;d=0i+2j,得知焦點應在y軸上。由此得到軌跡方程:x^2/12+y^2/16=1。(*)(2)似乎應該是OP~=OA~+OB~。(否則兩邊之和等于第三邊---對角線,就不需要計算了)直線L的方程是y=kx+3(**)。由方程(*)(**)消去y,得到(3k^2+4)x^2+18kx-21=0(***)x1+x2=-18k/(3k^2+4);x1x2=-21/(3k^2+4)y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k^2*x1x2+3k(x1+x2)+9=k^2*(-21)/(3k^2+4)+3k(-18k)/(3k^2+4)+9=(-48k^2+36)/(3k^2+4)x1x2+y1y2=(-48k^2+15)/(3k^2+4)依題意,應有OA~垂直于OB~---k(OA)*k(OB)=-1---y1/x1*y2/x2=-1---x1x2+y1y2=0----48k^2+15=0---k^2=5/16---k=+'-(5^0。5)/2所以直線L的方程存在,就是y=+'-(5^。5)/2*x+3。

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