若函數y=f(x) 在區間（-a,a)(a>0)內為偶函數且可導，試討論y=f'(x) 在（-a,a)內的奇偶性。若函數y=f(x) 在區間（-a,a)(a>0)內為偶函數且可導，試討論y=f'(x) 在（-a,a)內的奇偶性。

熱心網友

若函數y=f(x) 在區間（-a,a)(a0)內為偶函數且可導，試討論y=f'(x) 在（-a,a)內的奇偶性。 解：因為函數y=f(x) 在區間（-a,a)(a0)內為偶函數且可導所以 f(-x) = f(x)兩邊對x求導，得 [f(-x)]’ = [f(x)]’即 f ’(-x)*(-1) = f ’(x)亦即 f '(-x) = - f '(x)所以 f '(x) 是奇函數。

熱心網友

偶函數的導函數是奇函數，奇函數的導函數是偶函數。——這是定理。現在證明前半句話。證：設f(x)是偶函數，即f(-x)=f(x)f'(-x)=lim(h→0)[f(-x+h)-f(-x)]/h=lim(h→0)[f(x-h)-f(x)]/h=-lim(h→0)[f(x-h)-f(x)]/(-h)=-f'(x)∴f'(x)是奇函數。