請大家教一教我雙十字相乘來因式分解。

熱心網友

1．雙十字相乘法　　分解二次三項式時，我們常用十字相乘法．對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，　　可以看作是關于x的二次三項式．　　對于常數(shù)項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為參考文獻： 　　即　　-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．　　 再利用十字相乘法對關于x的二次三項式分解　　所以　　原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］　　　　=(x+2y-3)(2x-11y+1)．　　上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法．如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：　　它表示的是下面三個關系式：　　(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；　　(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．　　這就是所謂的雙十字相乘法．　　用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；　　(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．　　例1 分解因式：　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；　　(2)x2-y2+5x+3y+4；　　(3)xy+y2+x-y-2；　　(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．　　解 (1)　　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．　　(2)　　原式=(x+y+1)(x-y+4)．　　(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解．　　原式=(y+1)(x+y-2)．　　(4)　　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．　　說明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似．　　2．求根法　　我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)　　f(1)=12-3×1+2=0；　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．　　若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根．　　定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a．　　根據因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根．對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根．　　定理2　　　　的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．　　我們根據上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解．　　例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．　　分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，　　即x=2是原式的一個根，所以根據定理1，原式必有因式x-2．　　解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)．　　原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)　　　　=(x-2)(x2-2x+2)．　　解法2 用多項式除法，將原式除以(x-2)，　　所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．　　說明 在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根．因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證．　　例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．　　分析 因為9的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有±1，±為：　　所以，原式有因式9x2-3x-2．　　解 9x4-3x3+7x2-3x-2　　　=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2　　　=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2　　　=(9x2-3x-2)(x2+1)　　　=(3x+1)(3x-2)(x2+1)　　說明 若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式　　可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程．　　總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了．　　3．待定系數(shù)法　　待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用．　　在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．　　例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．　　分析 由于　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，　　若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決．　　解 設　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3　　=(x+2y+m)(x+y+n)　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，　　比較兩邊對應項的系數(shù)，則有　　解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．　　說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下．　　例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．　　分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1，±7(7的約數(shù))，經檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內，原式沒有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．　　解 設　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，　　所以有　　由bd=7，先考慮b=1，d=7有　　　　　所以　　原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．　　說明 由于因式分解的唯一性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止．　　本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．練習二　　1．用雙十字相乘法分解因式：　　(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；　　(2)x2-xy+2x+y-3；　　(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．　　2．用求根法分解因式：　　(1)x3+x2-10x-6；　　(2)x4+3x3-3x2-12x-4；　　(3)4x4+4x3-9x2-x+2．　　3．用待定系數(shù)法分解因式：　　(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；　　(2)x4+5x3+15x-9．。