a, b, c屬于實數(shù)，a+b+c=1，求（1/a+1/b+1/c）的最小值。不用調和不等式請問如何證明？

熱心網友

證:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥3立方根下abc*3立方根下1/abc=9,又已知 (a+b+c)=1,故有(1/a+1/b+1/c)≥9,最小值為9(在a=b=c時取得)證法二1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a +(a+b+c)/b +(a+b+c)/c =1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1 =3+b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b ≥3+2+2+2=9 在a=b=c時取得 最小值9應提問者要求補充說明如下:設b/a=x,則a/b=1/x,有x+1/X≥2√(x*1/x)=2,即b/a+a/b≥2,同理證得a/c+c/a≥2,b/c+c/b≥2至于x+1/x≥2的證明,用到a+b≥2√ab至于a+b≥2√ab,用到a平方+b平方≥2ab(左-右=(a-b)平方,左≥右。

熱心網友

1/a+1/b+1/c=3(1/a*1/b*1/c)^(1/3)=3/(abc)^(1/3).....(1)a+b+c=3(abc)^3......(2)(1)*(2):(1/a+1/b+1/c)*(a+b+c)3/(abc)*3(abc)^(1/3)---1/a+1/b+1/c=9......(3)三個不等式都是當僅當a=b=c時不等式成立，所以最小值是9。