已知函數f(x)=x^2+2x+1,若存在實數t,當1≤x≤m時，f（x+t)≤x恒成立，求實數m的最大值？

熱心網友

當1≤x≤m時，f（x+t)≤x恒成立，由x=1時，成立得到（t+2)^2≤1,得t的取值范圍是[-3，-1]。對f（x+t)-x≤0 （設其為F（x））進行整理得： x＾2+(2t+1)x+(t+1)^2≤0則m為x＾2+(2t+1)x+(t+1)^2=0較大根 （由F（1）≤0,F（m）=0 由其圖像特點可以保證其在[1，m]符合F（m）≤0)利用求根公式得 2m=-2t-1+(-4t-3)^1/2 （后面是1/2次方，寫的不清楚，自己用公式得出）注意到M對于T為單調減函數，所以當t=-3時，m取得最大值，m=5這個思路應該能解得出來（也許計算結果不能保證）隨便說一下樓上的做法我認為其另一個不必等于1，應該是小于等于1。注意到函數圖像是沒有確定的，其2根的之間的間隔不定，所以不一定是較小根等于1時，較大根最大。（當然也有可能恰好是，即使是樓上的做法也不妥）。

熱心網友

m最大值是4采用圖像法做這個題比較簡單y=x的圖像是一條直線，y=x^2+2x+1是一條拋物線，y=f（x+t)是y=x^2+2x+1的平移要使1≤x≤m時，f（x+t)≤x恒成立，y=x^2+2x+1圖像應該向右平移，直到y=f（x+t)過（1，1），且對稱軸在x=1右側，此時函數易解出是y=x^2-4x+4，這個時候m取最大值，再向右平移就不再符合條件，由x^2-4x+4=x解得x=4，即m的最大值是4

熱心網友

解:∵已知函數f(x)=x^2+2x+1,若存在實數t,當1≤x≤m時，f（x+t)≤x恒成立f（x+t)=(x+t)＾2+2(x+t)+1≤x. 整理得: x＾2+(2t+1)x+(t+1)≤0∴函數x＾2+(2t+1)x+(t+1)與X軸有兩個交點.既方程x＾2+(2t+1)x+(t+1)=0有兩個解X1=1 X2=m根據韋達定理 1+m=-2t-1....(1) m=(t+1).＾2...(2)解(1)(2)得m1=0 m2=4∴m最大值是4