在三角形ABC中，證明邊a，b，c成等差數列的充要條件為cosA+2cosB+cosC=2

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若：cosA+2cosB+cosC=2 則：2abc(cosA+2cosB+cosC) = 4abc== a*(b^2+c^2-a^2)+2b*(c^2+a^2-b^2)+c*(a^2+b^2-c^2) = 4abc展開，得：(a+c-2b)(a+b-c)(a-b-c) = 0== a+c-2b = 0因此，邊a、b、c成等差數列。若邊a、b、c成等差數列：a+c = 2b== (a+c-2b) = 0 == (a+c-2b)(a+b-c)(a-b-c) = 0展開，整理，得：a*(b^2+c^2-a^2)+2b*(c^2+a^2-b^2)+c*(a^2+b^2-c^2) = 4abc== a*(2bc*cosA +2*2ca*cosB +2ab*cosC) = 4abc== 2abc(cosA+2cosB+cosC) = 4abc== cosA+2cosB+cosC=2因此，條件必要。證畢。