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一般因數都是一對的，即為偶數個，但是這個平方數的那兩個因數都一樣，所以只能有奇數個。

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B=a^2,a=(P1)^(c1)***(Pk)^(ck),B=a^2=(P1)^(2c1)***(Pk)^(2ck),B有(2c1+1)***(2ck+1)個因數,(2c1+1)***(2ck+1)為奇數。

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根據一個特無敵的公式：S=A的N次方*B的M次方*C。。。。。。。因數個數為：（N+1）*（M+1）*。。。。。。。。所以這個數的因數為：S=A的2次方（2+1）*（0+1）*（0+1）*。。。。。。。。。。。。

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比如36=6*636的約數有1、2、3、4、6、9、12、18、366和6有重復，所以要減少一個，就是奇數個

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因為總有一個因數1

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a×a×1

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這個問題不需要用高深的理論來解決，因為一個完全平方數一定可以寫成a*a的形式，那么，任何一個大于a的因數，都有一個小于a的因數相對應。惟獨a是一個。不就證明了完全平方數有奇數個因數。（其中有一個a，以及一串成對的因數）.

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研究a^2.如果a是質數,那么它只有1,a,a^2這3個因數.研究a^2k(a是質數)它也只有1,a.a^2,a^3,....,a^2k.這2k+1個因數,2k+1是奇數.如果a是合數,假設a=a1*a2*a3*......*an.其中a1,a2,...an都是質數或者指數的冪.那么a^2=a1^2*a2^2*......*an^2所以a^2的因數由a1^2的因數,a2^2的因數,......an^2的因數之積構成.而每一個的因數都是奇數個.根據乘法原理奇數之積仍然是奇數.故而所求證的結論成立

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為什么完全平方數有奇數個因數？解：設平方數A=(p1)^a1×(p2)^a2×…×(pn)^an,其中p1,p2,…,pn 是互不相等的質數，所以a1,a2,…,an都是偶數。從而：a1+1,a2+1,…,an+1都是奇數，于是平方數A的正約數（即因數）個數(a1+1)(a2+1)……(an+1)是奇數。

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B=a^2,a=(P1)^(c1)***(Pk)^(ck),B=a^2=(P1)^(2c1)***(Pk)^(2ck),B有(2c1+1)***(2ck+1)個因數,(2c1+1)***(2ck+1)為奇數。

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因為一個完全平方數一定可以寫成a*a的形式(當然a還可以是完全平方數), 在加上這個數的本身,那就一定有奇數個因數