任意給定一個正整數k，一定存在整數n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，則這樣的有序數對(n,k)是

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(k,k) 或 (3m+2,2) (m∈Z+)

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x^n+x+1被x^ k+x+1除則x^n-x^ k=x^ k（x^（n- k）-1）被x^ k+x+1除設n- k=m，則x^ k+x+1=0 (1) 的根為x^（m）-1=0的根。x^（m）-1=0的根為e^(2πli/m),0≤l≤m-1,帶入（1）得2πl/m=2π/3，4π/3 （2）得l=1/3m，2/3m （3）所以x^ k+x+1=0 只有2個根，而x^ k+x+1=0沒有重根，則k=2或m=01）k=2，n=3l+ 2，0≤l。則x^（3l+ 2）+x+1被x^ 2+x+1除則這樣的有序數對(n,k)=（3l+ 2，2），0≤l。2）k2，則m=0。則這樣的有序數對(n,k)=（k,k)。補：1）x^（m）-1=0的根的絕對值=1x^ k+x+1=0，說明x^ k，x，-1，0為邊長為1的菱形的頂點，則x=e^(2πi/3),或e^(4πi/3)。2）x^ k+x+1=0沒有重根，是因為x^ k+x+1，kx^ （k-1）+1沒有公共的根。。

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n=k