①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz

熱心網友

先說明一下,這三題比較難,省略了一些過程,請你自己補充完整。(1)分析:將原式看成X的多項式,可知當X=－Y時,原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5=0所以原式有因式(X＋Y),同理原式還有因式(Y＋Z),(Z＋X)設原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)]令X=1,Y=1,Z=0,代入得30=2(2K＋T);令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T)解得K=5,T=5所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX)(2)分析設原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3]然后利用立方差和立方和公式展開,并令整理后的式子=(2A＋B＋C)(M－N)其中由輪換多項式可確定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C)比較系數的原式=3(2A＋B＋C) (A＋2B＋C)(A＋B＋2C)(3)分析設X=Y＋Z,則有原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ=(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0所以原式有因式(Y＋Z－X),同理有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z)設原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)其中K為待定系數,比較等式兩邊XYZ項的系數右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K左=－2所以解得K=1所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)。

熱心網友

a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5＝[-a^4×(b-c)-b^4 ×(c-a)-c^4 ×(a-b)]×(-5)＝-5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3＝(2a+2b+2c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3…………③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz依此類推

熱心網友

1)f(a,b,c)=(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5==f(a,b,-b)=f(a,-a,c)=f(a,b,-a)=0==f(a,b,c)=5(a+b)(a+c)(b+c)[x(a^2+b^2+c^2)+y(ab+ac+bc)]==a=0,f(0,b,c)=(b+c)^5-b^5-c^5=5bc(b+c)(b^2+bc+c^2)==5bc(b+c)[x(b^2+c^2)+ybc]==x=y=1,==f(a,b,c)=5(a+b)(a+c)(b+c)[(a^2+b^2+c^2)+(ab+ac+bc)]。2)f(a,b,c)=8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3,f(-b-c,b,c)不≡0，則若f可分解則必為3個1次齊次多項式的積，f對稱則f(a,b,c)=x[ya+z（b+c）][yb+z（a+c）][yc+z（b+a）]f(a,b,-b)=8(a+b-b)^3-(b-b)^3-(-b+a)^3-(a+b)^3=6a（a-b）（a+b）==xya[（y-z）b+za][（z-y）b+za]==》y-z=z，y=2z==》f(a,b,c)=xz^3[2a+（b+c）][2b+（a+c）][2c+（b+a）]f(a,0,0)=6a^3=2a^3xz^3==》xz^3=3，==》f(a,b,c)=3[2a+（b+c）][2b+（a+c）][2c+（b+a）]。3）同法f(x,y,z)=x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyzf(-y-z,y,z)不≡0，則若f可分解則必為3個1次齊次多項式的積，f對稱則f(x,y,z)=a[bx+c（y+z）][by+c（x+z）][bz+c（x+y）]f(x,y,-y)=x（2y-x）（2y+x）=abx[cx+（b-c）y][cx+（c-b）y]==》2c=b-c或2c=c-b==》3c=b或c=-b==》f(0,y,z）得c=-b==》f(x,y,z)=-[x-（y+z）][y-（x+z）][z-（x+y）]。。

熱心網友

我怎么都看不懂?

熱心網友

①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5＝[-a^4×(b-c)-b^4 ×(c-a)-c^4 ×(a-b)]×(-5)＝-5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3＝(2a+2b+2c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3…………③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz②③可以參考第①題