三角形ABC中,a b=10,而cosC是方程2x^2-3x-2=0的一個(gè)根,求三角形ABC周長(zhǎng)的最小值三角形ABC中,a+b=10,而cosC是方程2x^2-3x-2=0的一個(gè)根,求三角形ABC周長(zhǎng)的最小值

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三角形ABC中,a+b=10,而cosC是方程2x^2-3x-2=0的一個(gè)根,求三角形ABC周長(zhǎng)的最小值因?yàn)?x^2-3x-2=0的根為：x1=2 ,x2=-1/2所以cosC=-1/2 ,∠C＝120°因?yàn)閏^2= a^2 + b^2 -2abcos120°= a^2 + b^2 +ab =(a+b)^2 -ab 所以 c = √(100-ab) ,因?yàn)閍b≤[(a+b)/2]^2 = 25 ,所以 √(100-ab) ≥5√3周長(zhǎng) = a+b+c =10 + √(100-ab)≥10+5√3 ,即周長(zhǎng)的最小值為：10+5√3(條件是：a=b=5)

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x1=2,x2=-1/2,而cosC≤1,所以cosC=-1/2,又因?yàn)閏^2=a^2+b^2-2abcosC,所以c^2=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab......而ab≤[(a+b)/2]^2,所以c^2最小值為(a+b)^2-(a+b)^2/4=3(a+b)^2/4=75所以c最小值為5√3,所以周長(zhǎng)最小值為10+5√3

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