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圓錐曲線的范圍,作為圓錐曲線的一條重要性質(zhì),常常會(huì)以隱含條件的形式,出現(xiàn)在一些問題中。解決這類問題,則需要挖掘、利用曲線的范圍,弄清曲線范圍在解題中所起的作用,才能正確地解題。下面對(duì)這類問題作一歸納和剖析;對(duì)圓錐曲線范圍在解題中作用的具體表現(xiàn)作一點(diǎn)粗淺探討。例1 (90年全國(guó)高考試題) 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在 軸上,離心率 。已知點(diǎn) 到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是 ,求這個(gè)橢圓的方程,并求橢圓上到點(diǎn) 的距離等于 的點(diǎn)的坐標(biāo)。〔解〕由 且 故可設(shè)所求的橢圓方程為: 設(shè) 是該橢圓上任意一點(diǎn),則 ,故當(dāng)① 且當(dāng) 時(shí) 解得 ,舍去。②當(dāng) 且當(dāng) 時(shí), 由題意得 ,解得 所求方程為 到點(diǎn) 距離等于 的點(diǎn)的坐標(biāo)是 評(píng)注:題中點(diǎn) 到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的距離,實(shí)際是要考慮二次函數(shù)的最值問題,由于在橢圓中 的取值范圍是 因而二次函數(shù)取最大值時(shí),并不是當(dāng) 時(shí),而是要結(jié)合 的取值進(jìn)行分類討論,進(jìn)而求得正確結(jié)果。附同類題: (1)設(shè)雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于 軸,離心率為 已知點(diǎn) 到這雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為2,求雙曲線方程。(2)由橢圓 的頂點(diǎn) 引一條弦 求弦 長(zhǎng)度的最大值?答案為: (i)當(dāng) 時(shí),則 得 (ii)當(dāng) 時(shí),則 得 (3)設(shè) 求曲線 上的點(diǎn)到 點(diǎn)距離的最小值?答案為: 時(shí),最小值為 時(shí),最小值為 2。由曲線范圍,引發(fā)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化例2。 已知橢圓 拋物線 若曲線 有公共點(diǎn),求實(shí)教 的取值范圍?〔解〕由 消去 得: ①由曲線 有公共點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為方程①至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根不小于1,(這是由拋物線范圍 所引發(fā)的) 而方程①的兩根都小于1的充要條件是: 即 解之得 或 ,故 ,而方程①有實(shí)根的充要條件是 ,因?yàn)榧?中子集 的補(bǔ)集是 當(dāng) 時(shí),兩曲線有公共點(diǎn)。評(píng)注:考慮兩曲線的公共點(diǎn)問題,解題實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為二次方程的有解問題。由于曲線范圍的影響,原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次方程在給定區(qū)間上有解,而不僅僅是方程①在R上有解。3。由曲線范圍,確定有關(guān)變量的取值范圍例3 (92年全國(guó)高考試題) 已知橢圓 是橢圓上的兩點(diǎn),線段 的垂直平分線與 軸相交于點(diǎn) ,證明: 〔解〕設(shè) 的坐標(biāo)是 ,因線段 的垂直平分線與 軸相交,故 不平行于 軸,即 ,又交點(diǎn)為 ,故 ① 都在橢圓上, 將這兩式代入①得: 又 且 , 即 評(píng)注: 的取值范圍,是由 在橢圓上,則由橢圓范圍可分別得到 的取值范圍,從而實(shí)現(xiàn)了由一個(gè)變量范圍來確定另一個(gè)變量的范圍。例4 為等軸雙曲線 上的一點(diǎn), 為其對(duì)稱中心, 是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn),試求 的取值范圍。〔解〕因?yàn)榈容S雙曲線的離心率 ,設(shè) ,則 = ,而 = 令右式= ,則 整理得 即 附同類題: 已知雙曲線 是雙曲線同一支上的兩點(diǎn),線段 的垂直平分線與 軸相交于點(diǎn) 求證: 4。由曲線范圍,解決存在性探索問題例5 已知橢圓 能否在此橢圓位于 軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn) ,使它到左準(zhǔn)線的距離是它到兩焦點(diǎn) 的距離的等比中項(xiàng)?〔解〕由方程知 ,假設(shè)存在點(diǎn) 滿足題設(shè)要求,即有 ,有 為 到左準(zhǔn)線的距離 ,則易知 應(yīng)有 得 或 ,這與 矛盾,所以這樣的點(diǎn) 不存在。附同類題:已知雙曲線 的離心率 左、右焦點(diǎn)分別是 和 ,左準(zhǔn)線為 能否在雙曲線的左支上找到一點(diǎn) 使到 是 到 的距離 與 的比例中項(xiàng)? 答案為:滿足條件的點(diǎn) 不存在。5。由曲線范圍,確定曲線的離心率范圍例6 已知橢圓 的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為 ,如果橢圓上存在一點(diǎn) ,使得 求該橢圓的離心率 的取值范圍。〔解〕由對(duì)稱性,不妨設(shè) 點(diǎn)在 軸的上方,坐標(biāo)為 ,則 即 整理得: ① 因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓上,所以 ,代入①得 , 。即 ,化簡(jiǎn)得 評(píng)注:在橢圓和雙曲線中,利用曲線范圍,消去變化量,從而得到基本量 間的關(guān)系,進(jìn)而求離心率范圍,是常用的解題策略。
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多做題，多總結(jié)！