雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，且離心率為√2，雙曲線過點（4，-√10）若直線kx-y-3k+m=0(k為參數）所過的定點M在雙曲線上，求證：F1M⊥F2M

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解:設雙曲線方程(x/a)＾-(y/b)＾=1。直線kx-y-3k+m=0可寫為 k(x-3)-(y-m)=0所明該直線過定點M(3,m)∵雙曲線過點（4，-√10) ∴16/a＾-10/b＾=1。。。。。。。。(1)e=c/a=√2 c=a√2 。。。。。。(2)∵c＾=a＾+b＾。。。。。。。。(3) ∴解得a＾=6 c＾=12 b＾=6 │F1F2│/2=│c+c│/2=√12∵定點M在雙曲線上 ∴將定點M(3,-m)代入(x/a)＾-(y/b)＾=1。 9/a＾-m＾/b＾=1 m＾=3∴│OM│=√(m＾+9)=√(3+9)=√12=│c+c│/2=│F1F2│/2既OM是直角三角形F1MF2斜邊上中線。 ∴F1M⊥F2M 。