已知直線l:x-y+9=0和橢圓C:x^2+4y^2=12，以橢圓C的焦點為焦點，做另一個橢圓且與直線 公共點。問公共點在何處時，新橢圓上的點到兩焦點的距離之和最短，并求該橢方程。

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解: ∵橢圓 C:x^2+4y^2=12 ∴橢圓長軸a a＾=12。 短軸b b＾=3半焦距c c＾=9 c=±3設焦距為C1,C2。 則C1(-3,0)。 C2(3,0)過C2點做直線L:x-y+9=0的垂線,交直線L于B點。延長到D點,使│DB│=│BC2│連DC1交直線L于A點,A點到C2,C1距離之和最短。設公共點為A(Xa,Ya)點。直線x-y+9=0的斜率為K1=1直線DC2方程為Y=KX+b 其中K=-1/K1=-1 帶入 C2(3,0)求得b=3 則Y=-X+3直線DC2與直線L交點B坐標通過解x-y+9=0 Y=-X+3得Xb=-3 Yb=6D點坐標(Xd,Yd)。 (Xd+3)＾+(Yd-6)＾=(-3-3)＾+(6-0)＾。。。。。(1) Yd=-Xd+3。。。。。(2)解得:Yd=12。 Xd=-9直線DC1方程為:(Y-12)/(X+9)=(0-12)/(-3+9)。整理得:Y+6X+6=0直線DC1與直線L交點A坐標(Xa,Ya)通過解:Y+6X+6=0 x-y+9=0得: Xa=-5,Ya=4∵A為直線L與另一個橢圓E的切點 橢圓E的焦點與橢圓C的焦點重合?！鄼E圓E方程為: X＾/a＾+Y＾/b＾=1 a＾-b＾=c＾=9。解得: a＾=45。 b＾=36 ∴X＾/45+Y＾/36=1 (D點坐標求法還有一個簡便方法:過C2點做直線L:x-y+9=0的垂線,交直線L于B點。使│DB│=│BC2│。直線L交X軸于F點。F點坐標(-9,0)?！摺螧FO=45° DC2⊥BF ∴∠BC2F=45° ∴│BC2│=│BF│∴Rt△FDB≌Rt△FC2B │DF│=│FC2│=12 Yd=12。 │FO│=9 Xd=-9)。

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解:橢圓方程C:x^+4y^=12的焦點F1(-3,0),F2(3,0),F1(-3,0)關于直線l:x-y+9=0的對稱點N(-9,6),則新橢圓上的點到兩焦點的距離之和最短是|PF1|+|PF2|=|NF2|=6√5∴新橢圓方程中:a=3√5,c=3∴b=6。∴新橢圓方程為:x^/45+y^/36=1。注:F1(-3,0)關于直線l:x-y+9=0的對稱點N(-9,6)怎么求的。①利用數形結合(如圖)|MF1|=|MN|=6且∠PMF1=∠PMN=45°∴N(-9,6)②已知一個點的坐標，要求出關于某一直線對稱的點的坐標，一般的講，需要充分利用垂直平分線的性質“斜率之積等于－1”；“直線的交點平分線段”，比較麻煩。③但是，當對稱軸的斜率是+'-1時有一個不見經傳的“非法”辦法：把已知點的坐標依次代入對稱軸方程，就可以得到對稱點的坐標。（這是可以證明的）例如本題中，已知點(-3,0)的橫坐-3標代入y=x+9就得到對稱點的縱坐標y=6，把已知點的縱坐標0代入對稱軸方程y=x+9就得到對稱點的橫坐標x=-9。這樣快速地得到(-3,0)關于y=x+9對稱的點(-9,6)。

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=想想