已知圓C：X^2+y^2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線(xiàn)L，使L被圓C截的的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線(xiàn)L的方程；若不存在說(shuō)明理由

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解:存在這樣的直線(xiàn)L.設(shè)直線(xiàn)L為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),則y1=x1+m,y2=x2+m由y=x+m和x^2+y^2-2x+4y-4=0組成方程組笑去y得2x^2+2(m+1)x+m^2+4m-4=0由根與系數(shù)關(guān)系得x1+x2=-m-1,x1×x2=(m^2+4m-4)/2若以弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)則OA⊥OB,所以向量OA與OB垂直,它們的數(shù)量積為0,而向量OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)所以x1x2+y1y2=0∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=02(x1x2)+m(x1+x2)+m^2=0即2×(m^2+4m-4)/2+m(-m-1)+m^2=0解得m=-4或m=1.所以直線(xiàn)L的方程為y=x-4或y=x+1即x-y-4=0或x-y+1=0.

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設(shè)L:Y=X+m,代入圓方程x^2+(x+m)^2-2x+4(x+m)-4=0即2x^2+2(m+1)x+m^2+4m-4=0所以x1+x2=-(m+1),x1*x2=(m^2+4m-4)/2A(x1,y1),B(x2,y2)要弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，OA的斜率*OB的斜率為-1，即(y1/x1)*(y2/x2)=-1x1*x2+y1y2=0x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m^2=(m^2+4m-4)-m(m+1)+m^2=m^2+3m-4=0得m=1或-4所以L:y=x+1或y=x-4

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解法一:利用圓的幾何性質(zhì)設(shè)L:y=x+m, AB中點(diǎn)N又圓心C(1,2), r=3則AB^CN且AB∩CN=N解法二:利用常規(guī)解法設(shè)L:y=x+m, A(x1,y1), B(x2,y2)以為AB直徑的圓過(guò)原點(diǎn)因二個(gè)解法要畫(huà)二個(gè)圖，詳解見(jiàn)附件：