證明：3階實(shí)矩陣E能分解為反對(duì)稱矩陣T與一個(gè)正交矩陣R的積，E =R T ，的充要條件是E有一個(gè)零奇異值并且另外兩個(gè)非零奇異值相等。

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證明：3階實(shí)矩陣A能分解為反對(duì)稱矩陣T與一個(gè)正交矩陣R的積，A =R T ，的充要條件是A有一個(gè)零奇異值并且另外兩個(gè)非零奇異值相等。 (注意：E為單位矩陣）記A^(t)為A的轉(zhuǎn)置矩陣。1。設(shè)3階實(shí)矩陣A能分解為反對(duì)稱矩陣T與一個(gè)正交矩陣R的積，A =R T ==》A^(t)A=T^(t)R ^(t)R T=T^(t)T=- T^2。T為3階反對(duì)稱矩陣==》T的特征多項(xiàng)式P（x）=x^3+ax，a0==T^3+aT=0==(- T^2)^2-a(- T^2)=0==(b1）^(t)b1=- T^2的最小多項(xiàng)式=x^2-ax==》A^(t)A的特征值=0，a，而顯然R（- T^2）=2==》A有一個(gè)零奇異值并且另外兩個(gè)非零奇異值相等=√a。2。3階實(shí)矩陣A有一個(gè)零奇異值并且另外兩個(gè)非零奇異值相等。則有正交矩陣P，使P^(t)A^(t)AP=Λ，其中Λ=[a，0，0] [0，a，0]，其中a0 [0，0，0]設(shè)B=P^(t)AP==》B^(t)B=Λ==》B=（b1，b2，0），其中（b1）^(t)b1=（b2）^(t)b2=a，（b1）^(t)b2=0。c1=b1/√a，c2=b2/√a，（b1）^(t)c3=（b2）^(t)c3=0，（c3）^(t)c3=1==》則Q1=（c1，c2，c3）為正交矩陣Q1^(t)P^(t)AP=Q1^(t)B=[√a，0，0][0，√a，0][0， 0，0]設(shè)Q2=[0， 1，0] [-1，0，0] [0， 0，1]==》Q1=為正交矩陣==》Q1^(t)P^(t)APQ2=Δ=[0，-√a，0][√a， 0，0][0， 0，0]==》A=PQ1Δ[Q2]^(t)P^(t)==PQ1[Q2]^(t)P^(t){PQ2Δ[Q2]^(t)P^(t)}，T=PQ2Δ[Q2]^(t)P^(t)，R =PQ1[Q2]^(t)P^(t)，顯然T為反對(duì)稱矩陣，R為正交矩陣，A=R T 。。

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