若Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是不相等的整數(shù)，且整數(shù)Ｘ滿足等式（Ｘ－Ａ）（Ｘ－Ｂ）（Ｘ－Ｃ）（Ｘ－Ｄ）－９＝０．求證：４｜（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）
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（X-A）（X-B）（X-C）（X-D）=9因?yàn)椋?，Ｂ，Ｃ，Ｄ是不相等的整?shù)，且X是整數(shù)所以這四個(gè)因式的值只能是+1，-1，+3，-3設(shè)X-A=1，X-B=-1，X-C=+3，X-D=-3四個(gè)式子相加得4X-（A+B+C+D）=04X=A+B+C+D所以４｜（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）
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根據(jù)已知條件： Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是不相等的整數(shù)， 且整數(shù)Ｘ滿足等式（Ｘ－Ａ）（Ｘ－Ｂ）（Ｘ－Ｃ）（Ｘ－Ｄ）－９＝０即有： （1） （Ｘ－Ａ）（Ｘ－Ｂ）（Ｘ－Ｃ）（Ｘ－Ｄ）= 9 （2） （Ｘ－Ａ）（Ｘ－Ｂ）（Ｘ－Ｃ）（Ｘ－Ｄ）相互不相等。所以，由（1），只能有一種可能： {（Ｘ－Ａ），（Ｘ－Ｂ），（Ｘ－Ｃ），（Ｘ－Ｄ）} = {-1，1，3，-3} 并且，互不相等。所以： （Ｘ－Ａ）+（Ｘ－Ｂ）+（Ｘ－Ｃ）+（Ｘ－Ｄ）= {（-1）+ 1 + 3 +（-3）}= 0即：Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ = 4X因此：４｜（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）得證。
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因?yàn)閤滿足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9.因?yàn)?=3^2,9的約數(shù)有且只有+'-1,+'-3,+'-9。共6個(gè)。又因?yàn)閍,b,c,d是互不相等的整數(shù)。所以x-a,x-b,x-c,x-d也是互不相等的整數(shù)。從+'-1,+'-3,+'-9中選取4個(gè)不同的數(shù)，使其乘積為9。有且只有一種方法：就是組合1、－1、3、－3。因此，不失一般性可以令x-a=1,x-b=-1,x-c=3,x-d=-3===a=x-1,b=x+1,c=x-3,d=x+3===a+b+c+d=4x.(x是整數(shù)）所以a+b+c+d能被4整除。