已知a，b，c是互不相等的非零實數。求證：三個方程ax+2bx+c=0，bx+2cx+a=0，cx+ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根。

熱心網友

已知a，b，c是互不相等的非零實數。求證：三個方程ax^2+2bx+c=0，bx^2+2cx+a=0，cx^2+ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根。假設三個方程都沒有兩個相異實根。則三個方程的判別式△≤0所以b^2 ≤ac ，c^2 ≤ab ,a^2≤bc所以a^2 + b^2 + c^2≤ab+bc+ca由于a≠b≠c　所以(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2＞0　即　a^2 + b^2 + c^2＞ab+bc+ca這與a^2 + b^2 + c^2≤ab+bc+ca相矛盾所以假設不成立，故原命題成立

熱心網友

題應為：ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0吧？ 。可設a，b，c不全為負數，否則全乘-1。由對稱性可設abc，有a01.若0c==》a0^2+2b*0+c=c0，所以ax^2+2bx+c=0有兩個相異實根。2。c0。c（-1）^2+2a（-1）+b=c-a+b-a0，所以cx^2+2ax+b=0有兩個相異實根。

熱心網友

假設“至少有一個方程有兩個相異實根”不成立，則就是“都有兩個相等的實根”那么三個方程的判別式都等于0 ax^2+2bx+c=0　Δ=4b^2-4ac=0bx^2+2cx+a=0 Δ=4c^2-4ab=0cx^2+2ax+b=0 Δ=4a^2-4bc=0也就是 a^2=bc；b^2=ac；c^2=ab 相加,得到2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc 移項,得到: (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0 得到a=b=c 矛盾所以得證