在直線L:3x-4y+4=0上找一點M使它到點A(-3,-5),B(2,15)的距離之和最小，并求出最小值。（請寫出詳細過程）

熱心網友

畫出方程3x-4y+4=0的直線(L)以及點A(-3,-5)、B(2,15)。可以看出這兩點A、B都在直線L的同一側。設點P(x,y)是直線上的任意點。那么，固然有|PA|+|PB|=|AB|總是能夠成立。但是因為此二直線的交點不在線段AB上，因此“＝”不能成立。|AB|就不是|PA|+|PB|的最小值。必須另劈蹊徑。以求得線段AB的“替代”，使得“＝”能夠成立。根據等量替代以及軸對稱的性質，知道點A關于直線L的對稱點A'，就能夠滿足題目的要求。因為，線段AA'被直線L垂直平分，因此|AP|=|A'P|，所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|=|A'B|。而且，因為二直線的交點P在點A'和點B之間。因此“＝”能夠成立。所以，線段|A'B|的長就是|PA'|+|PB|也就是|PA|+|PB|的最小值。為此設點A'(x,y)是點A(-3,-5)關于直線L的對稱點，k(AA')=-1/k(L)=-4/3。(*)線段AA'的中點Q((x-3/2,(y-5)/2)在直線L：3x-4y+4=0上,所以3*(x-3)/2-4*(y-5)/2+4=0---3x-4y+19=0……(1);(*)---(y+5)/(x+3)=-4/3)---4x+3y+27=0……(2)解（1）、（2）組成的方程組得到：x=-33/5;y=1/5。于是得到點A'(-33/5,-1/5)|A'B|=[(2+33/5)^2+(15+1/5)^2]^。5=…………。就是所要求的最小值。[如果需要，以下只要求出直線AA'的方程，并且與直線L的方程在一起，解方程組就得到點P的坐標。]。