已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,面對角線A1B與平面A1B1CD所成的角為30度,求證:此棱柱為正方體。

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已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,面對角線A1B與平面A1B1CD所成的角為30度,求證:此棱柱為正方體。過B作BO⊥B1C于P ，連結A1P ，因為BP垂直于面A1B1CD所以∠BA1P =30度 ，所以 A1B = 2 BP設正四棱柱的底面邊長為a ,側棱的長為b 則 A1B^2 = a^2 + b^2 ,PB = ab / √(a^2 + b^2)所以 a^2 + b^2 = 4a^2b^2 / (a^2 + b^2)即 (a^2 - b^2)^2 = 0所以 a=b ,所以棱柱為正方體