是否存在R上的函數(shù)f(x),g(x),使得對所有的x∈R,有f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3?是或不是都要給出證明過程.請知道答案的朋友盡量把過程寫得詳細(xì),簡單,易懂,謝謝!

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題目少條件 必須f(x),g(x)足夠光滑 當(dāng)f(x),g(x)能展開成泰勒展開，數(shù)學(xué)歸納法可以證明 g(x)=1或者0 (從g^3(x)=g(x^2)) 但是這樣f(g(x))=x^2 f(0)=x^2是不可能的 所以不存在這樣的兩個函數(shù) 如果f(x),g(x)不夠光滑，一般不會考得這么變態(tài)吧 （注： g^3(x) = g(x^2)推導(dǎo)出來g(x)=0或者g(x)=1設(shè)g(x)=a+bx+cx^2+dx^3+。。。 g^3(x)的常數(shù)項是a^3 g(x^2)常數(shù)項是a a^3=a,a=0或者1 然后繼續(xù)這么比較系數(shù) ） 或者fgf(1)=f(1^3)=f(1) =f(1)^2 fgf(0)=f(0^3)=f(0) =f(0)^2 fgf(-1)=f((-1)^3)=f(-1) =f(0)^2 fgf(-1)=f((-1)^3)=f(-1) =f(-1)^2 So f(0), f(1) and f(-1) are solutions of x^2=x。 Two of them must be equal, say f(-1)=f(1)。 Then (-1)^3=gf(-1)=gf(1)=1^3, impossible。 。